Θεωρία Galois

Κατασκευή επέκτασης σωμάτων αναζητώντας ρίζες. Σώμα ριζών πολυωνύμων: ύπαρξη, μοναδικότητα, ιδιότητες.

Συνέχεια στην επέκταση σύνολου σημείων του επιπέδου: κατασκευή κανονικού n-γώνου. Σώματα ριζών: προτάσεις.

Ισομορφισμός σωμάτων.

Παράδειγμα του x κύβου μείον 2 στο Q[x]

Παρατηρήσεις, ιδιότητες, παραδείγματα. Εισαγωγή στις επεκτάσεις σωμάτων: ορισμός, παρατηρήσεις. Βαθμός επέκτασης.

Ορισμός, προτάσεις. Αλγοριθμική διαδικασία: πως μπορούμε να γράψουμε ένα πολυώνυμο συμμετρικό σε δύο μεταβλητές ως κάποια πολυωνυμική έκφραση.

Κυκλοτομικά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές. Υπολογισμοί, ιδιότητες.

Ορισμοί, κυκλοτομικό πολυώνυμο.

Πρόταση, απόδειξη, πόρισμα.

Πως σχετίζονται με τις γεωμετρικές κατασκευές με κανόνα και διαβήτη: εισαγωγή.

Υποομάδες αυτομορφισμών, υποσώματα. Παρατηρήσεις, ιδιότητες.

Πόρισμα, απόδειξη.

Εφαρμογή. Παρατηρήσεις.

Επέκταση με ριζικά, πολυώνυμα και επίλυση με ριζικά. Πρόβλημα: πότε ένα πολυώνυμο επιλύεται με ριζικά.

Ομάδα αυτομορφισμών κυκλικής τάξης n.

Παρατηρήσεις, πρόταση. Απόδειξη του αντίστροφου του προηγούμενου λήμματος. Σύνδεση με σώματα ριζών.

Ορισμός, λήμμα.

Πως επεκτείνονται οι ισομορφισμοί. Πως επεκτείνεται η ταυτοτική απεικόνιση. Εισαγωγή στον Αυτομορφισμό σωμάτων.

Παρατηρήσεις, προτάσεις. Ισομορφισμός σωμάτων και μεταθετικό διάγραμμα.

Πότε ένας δακτύλιος πηλίκο είναι σώμα, μεγιστικό ιδεώδες. Παραδείγματα. Ελάχιστος υποδακτύλιος.

Ελάχιστο ιδεώδες δακτυλίου, μορφή ιδεωδών δακτυλίων. Μη αντιστρέψιμο στοιχείο. Ακέραια περιοχή και πρώτο ιδεώδες. Πότε ένας δακτύλιος πηλίκο είναι ακέραια περιοχή.

Υπενθύμιση επέκταης Galois.

Παραδείγματα, εφαρμογές.

Απόδειξη.

Προτάσεις. Γενική εξίσωση βαθμού n.

Εφαρμογές, τριχοτόμηση γωνίας.

Επέκταση Galois με ριζικά, περιπτώσεις.

Παραδείγματα, προτάσεις και πορίσματα.

Εισαγωγή συντεταγμένων, Λήμμα. Περιπτώσεις.

Κάθε κανονική επέκταση είναι επέκταση Galois για υποσώματα στο C. Προτάσεις, απόδειξη.

Παρατηρήσεις, παραδείγματα.

Πόρισμα, απόδειξη, παρατηρήσεις.

Παράδειγμα: Ομορφισμός ομάδων.

Απόδειξη του αντίστροφου του προηγούμενου πορίσματος. Συμμετρικές ομάδες και ομορφισμός ομάδων.

Ομάδα Galois. Κανονικές επεκτάσεις και επεκτάσεις Galois.

Επιλύσιμες ομάδες, πεπερασμένες ομάδες. Παραδείγματα.

Λήμμα, απόδειξη. Πεπερασμένα σώματα.

Ο Αυτομορφισμός σώματος λαμβάνει τη δομή μιας ομάδας. Ορισμοί, παρατηρήσεις.

Παραδείγματα, ανάγωγο πολυώνυμο και βαθμός επέκτασης.

Λήμμα, βαθμός επέκτασης και βαθμός πολυωνύμου. Απόδειξη, παραδείγματα.

Ορισμοί. Ελάχιστο πολυώνυμο.