Θεωρία Galois

Ορισμοί. Ελάχιστο πολυώνυμο.

Λήμμα, βαθμός επέκτασης και βαθμός πολυωνύμου. Απόδειξη, παραδείγματα.

Παραδείγματα, ανάγωγο πολυώνυμο και βαθμός επέκτασης.

Ο Αυτομορφισμός σώματος λαμβάνει τη δομή μιας ομάδας. Ορισμοί, παρατηρήσεις.

Λήμμα, απόδειξη. Πεπερασμένα σώματα.

Επιλύσιμες ομάδες, πεπερασμένες ομάδες. Παραδείγματα.

Ομάδα Galois. Κανονικές επεκτάσεις και επεκτάσεις Galois.

Απόδειξη του αντίστροφου του προηγούμενου πορίσματος. Συμμετρικές ομάδες και ομορφισμός ομάδων.

Παράδειγμα: Ομορφισμός ομάδων.

Παρατηρήσεις, παραδείγματα.

Πόρισμα, απόδειξη, παρατηρήσεις.

Κάθε κανονική επέκταση είναι επέκταση Galois για υποσώματα στο C. Προτάσεις, απόδειξη.

Εισαγωγή συντεταγμένων, Λήμμα. Περιπτώσεις.

Παραδείγματα, προτάσεις και πορίσματα.

Επέκταση Galois με ριζικά, περιπτώσεις.

Εφαρμογές, τριχοτόμηση γωνίας.

Προτάσεις. Γενική εξίσωση βαθμού n.

Απόδειξη.

Παραδείγματα, εφαρμογές.

Υπενθύμιση επέκταης Galois.

Ελάχιστο ιδεώδες δακτυλίου, μορφή ιδεωδών δακτυλίων. Μη αντιστρέψιμο στοιχείο. Ακέραια περιοχή και πρώτο ιδεώδες. Πότε ένας δακτύλιος πηλίκο είναι ακέραια περιοχή.

Πότε ένας δακτύλιος πηλίκο είναι σώμα, μεγιστικό ιδεώδες. Παραδείγματα. Ελάχιστος υποδακτύλιος.

Παρατηρήσεις, προτάσεις. Ισομορφισμός σωμάτων και μεταθετικό διάγραμμα.

Πως επεκτείνονται οι ισομορφισμοί. Πως επεκτείνεται η ταυτοτική απεικόνιση. Εισαγωγή στον Αυτομορφισμό σωμάτων.

Ορισμός, λήμμα.

Παρατηρήσεις, πρόταση. Απόδειξη του αντίστροφου του προηγούμενου λήμματος. Σύνδεση με σώματα ριζών.

Ομάδα αυτομορφισμών κυκλικής τάξης n.

Επέκταση με ριζικά, πολυώνυμα και επίλυση με ριζικά. Πρόβλημα: πότε ένα πολυώνυμο επιλύεται με ριζικά.

Εφαρμογή. Παρατηρήσεις.

Πόρισμα, απόδειξη.

Υποομάδες αυτομορφισμών, υποσώματα. Παρατηρήσεις, ιδιότητες.

Πως σχετίζονται με τις γεωμετρικές κατασκευές με κανόνα και διαβήτη: εισαγωγή.

Πρόταση, απόδειξη, πόρισμα.

Ορισμοί, κυκλοτομικό πολυώνυμο.

Κυκλοτομικά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές. Υπολογισμοί, ιδιότητες.

Ορισμός, προτάσεις. Αλγοριθμική διαδικασία: πως μπορούμε να γράψουμε ένα πολυώνυμο συμμετρικό σε δύο μεταβλητές ως κάποια πολυωνυμική έκφραση.

Παρατηρήσεις, ιδιότητες, παραδείγματα. Εισαγωγή στις επεκτάσεις σωμάτων: ορισμός, παρατηρήσεις. Βαθμός επέκτασης.

Ισομορφισμός σωμάτων.

Παράδειγμα του x κύβου μείον 2 στο Q[x]

Συνέχεια στην επέκταση σύνολου σημείων του επιπέδου: κατασκευή κανονικού n-γώνου. Σώματα ριζών: προτάσεις.

Κατασκευή επέκτασης σωμάτων αναζητώντας ρίζες. Σώμα ριζών πολυωνύμων: ύπαρξη, μοναδικότητα, ιδιότητες.