Γραμμική Άλγεβρα Ι

Επίλυση συστημάτων εξισωσέων με χρήση πινάκων. Μετατροπή ενός πίνακα σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή. Ομογενή συστήματα εξισώσεων.

Ορισμός της έννοιας της ορίζουσας τετραγωνικού πίνακα. Ιδιότητες της ορίζουσας.

Ιδιότητες της ορίζουσας. Η ορίζουσα ενός αντιστρέψιμου πίνακα. Ανάπτυγμα της ορίζουσας ενός πίνακα n x n.

Ανάπτυγμα της ορίζουσας. Απόδειξη ότι η συνάρτηση του αναπτύγματος πληροί τις ιδιότητες της ορίζουσας και είναι μοναδική. Παράδειγμα αναπτύγματος ορίζουσας για πίνακα 3x3.

Ανασκόπηση της διαδικασίας υπολογισμού του αναπτύγματος ορίζουσας. Η έννοια της μετάθεσης, της σύνθεσης μεταθέσεων και της αντιμετάθεσης. Ιδιότητες των μεταθέσεων και η σχέση τους με την ορίζουσα.

Μοναδικότητα της ορίζουσας. Παραδείγματα υπολογισμού της ορίζουσας για πίνακα 2x2 και 3x3. Ο κανόνας του Sarus για τους πίνακες 3x3.

Μία βασική ιδιότητα της ορίζουσας, ως άσκηση. Μετασχηματισμοί γραμμών για την απλοποίηση του υπολογισμού ορίζουσας.

Επίλυση ασκήσεων στις ορίζουσες. Η έννοια του ίχνους ενός πίνακα. Ιδιότητες του ίχνους.

Η έννοια του προσαρτημένου πίνακα. Το θεώρημα για τον υπολογισμό του αντιστρόφου ενός πίνακα. Εφαρμογή στην επίλυση συστημάτων εξισώσεων.

Επίλυση ασκήσεων στις ορίζουσες.

Η έννοια του διανυσματικού χώρου. Ορισμός και παραδείγματα. Η έννοια του υπόχωρου.

Ένα κριτήριο για τους υπόχωρους των διανυσματικών χώρων. Ισομορφία διανυσματίκων χώρων.

Η τομή, η ένωση και το άθροισμα διανυσματικών υπόχωρων. Ευθύ άθροισμα διανυσματικών υπόχωρων.

Ένα κριτήριο για να χαρακτηριστεί ένα άθροισμα υπόχωρων ως ευθύ. Ο χώρος πηλίκο.

Κατασκευή του χώρου πηλίκο. Παραδείγματα υπόχωρων.

Επίλυση ασκήσεων στους διανυσματικούς χώρους.

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τις μεθόδους Gauss και Cramer. Οι έννοιες του γραμμικού συνδυασμού και της γραμμικής θήκης διανυσμάτων.

Γραμμικοί συνδυασμοί και επίλυση συστήματος εξισώσεων. Εφαρμογή της μεθόδου απαλοιφής του Gauss.

Ορισμός της γραμμικής εξάρτησης και γραμμικής ανεξαρτησίας διανυσμάτων. Παραδείγματα γραμμικής ανεξαρτησίας.

Επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων και γραμμική ανεξαρτησία.

Υποσύνολα διανυσματικού χώρου και γραμμική ανεξαρτησία. Η έννοια της βάσης διανυσματικού χώρου. Μοναδικότητα της γραφής ενός διανύσματος ως προς τα στοιχεία μίας βάσης.

Ο διανυσματικός χώρος των mxn πινάκων και μία βάση του. Παραδείγματα και ασκήσεις στις βάσεις διανυσματικών χώρων.

Ιδιότητες και κατασκευή των βάσεων διανυσματικών χώρων. Η έννοια της διάστασης διανυσματικού χώρου. Διανυσματικοί χώροι άπειρης διάστασης.

Ιδιότητες της διάστασης διανυσματικού χώρου. Η διάσταση του αθροίσματος διανυσματικών χώρων.

Ένας χαρακτηρισμός για τη διάσταση του χώρου πηλίκο. Παραδείγματα εύρεσης βάσεων διανυσματικών χώρων.

Επίλυση ασκήσεων στους διανυσματικούς χώρους.

Επίλυση ασκήσεων στους διανυσματικούς χώρους.

Η έννοια της γραμμικής απεικόνισης. Ορισμός και παραδείγματα. Οι 1-1 και επί γραμμικές απεικονίσεις. Αντιστρέψιμες και αντίστροφες γραμμικές απεικονίσεις.

Η έννοια της ισομορφίας διανυσματικών χώρων. Παραδείγματα ισομορφισμών. Γραμμικές απεικόνισεις και βάσεις διανυσματικών χώρων.

Γραμμικές απεικόνισεις και βάσεις διανυσματικών χώρων. Ένα κριτήριο για την ισομορφία διανυσματικών χώρων. Η έννοια του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης.

Μελέτη του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης. Εύρεση μίας βάσης του πυρήνα (ή της εικόνας) μίας γραμμικής απεικόνισης.

Ιδιότητες των γραμμικών απεικονίσεων μεταξύ διανυσματικών χώρων. Υπολογισμός της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης.

Ιδιότητες των γραμμικών απεικονίσεων μεταξύ διανυσματικών χώρων. Τα πολυώνυμα ως διανυσματικός χώρος άπειρης διάστασης.

Ο χώρος πηλίκο. Το πρώτο θεώρημα των ισομορφισμών διανυσματικών χώρων.

Ο διανυσματικός χώρος των γραμμικών απεικονίσεων. Η έννοια του δυϊκού χώρου.

Επίλυση ασκήσεων στις γραμμικές απεικονίσεις.

Επίλυση ασκήσεων στις γραμμικές απεικονίσεις.

Περιγραφή μίας γραμμικής απεικόνισης μέσω των εικόνων των στοιχείων μίας βάσης. Η έννοια του πίνακα γραμμικής απεικόνισης.

Εύρεση του πίνακα μίας γραμμικής απεικόνισης. Ο πίνακας της σύνθεσης γραμμικών απεικονίσεων.

Παράδειγμα εύρεσης του πίνακα γραμμικής απεικόνισης ως προς τις κανονικές βάσεις διανυσματικών χώρων.

Ο πίνακας αλλαγής βάσης.

Η έννοια της ισοδυναμίας πινάκων. Το θεώρημα για την ισοδυναμία ενός mxn πίνακα με άνω κλιμακωτό πίνακα.

Ανασκόπηση της διαδικασίας αλλαγής βάσης. Η έννοια της τάξης ενός πίνακα. Τάξη ενός γινομένου πινάκων.

Ιδιότητες της τάξης ενός πίνακα. Η ισοδυναμία των πινάκων που έχουν ίδια τάξη. Ένα κριτήριο αντιστρεψιμότητας ενός πίνακα.

Η ορίζουσα του γινομένου πινάκων. Η ιδιότητα της ορίζουσας για τους όμοιους πίνακες.

Η ορίζουσα μίας γραμμικής απεικόνισης. Η ιδιότητα της ορίζουσας για τους ανάστροφους πίνακες.

Μελέτη και επίλυση ομογενών και μη ομογενών συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Επίλυση ασκήσεων στα γραμμικά συστήματα και στις ορίζουσες.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Γενική ανασκόπηση των εννοιών και των τεχνικών που παρουσιάστηκαν στο μάθημα Γραμμική Άλγεβρα Ι.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.