Γραμμική Άλγεβρα Ι

Παρουσίαση μερικών εφαρμογών της Γραμμικής Άλγεβρας : επίλυση γραμμικών συστημάτων με χρήση πινάκων και μετασχηματισμών.

Ορισμός του συνόλου πινάκων m x n , στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών ενός πίνακα, η έννοια του ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα.

Ορισμός της έννοιας του ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα, στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών ενός πίνακα (γραμμοπράξεις), ιδιότητες των πινάκων, πράξεις μεταξύ πινάκων, αντιστρέψιμος πίνακας.

Οι έννοιες του ανάστροφου ενός πίνακα, του συμμετρικού πίνακα και του αντισυμμετρικού πίνακα. Ορισμοί, παραδείγματα και ασκήσεις.

Ορισμός της έννοιας του διανυσματικού χώρου, ιδιότητες, πράξεις σε διανυσματικούς χώρους, η έννοια του υποχώρου.

Η έννοια της γραμμικής ανεξαρτησίας των στοιχείων ενός διανυσματικού χώρου, παραδείγματα γραμμικά ανεξάρτητων και γραμμικά εξαρτημένων στοιχείων.

Η έννοια του διανυσματικού υποχώρου, παραδείγματα διανυσματικών υποχώρων. Η έννοια των ισόμορφων διανυσματικών χώρων.

Γραμμικοί συνδυασμοί στοιχείων διανυσματικών χώρων, γεννήτορες διανυσματικών χώρων και η έννοια της βάσης διανυσματικού χώρου.

Η έννοια της βάσης διανυσματικού χώρου, παραδείγματα και ασκήσεις.

Το θεώρημα της ανταλλαγής γεννητόρων ενός διανυσματικού χώρου, προτάσεις και παραδείγματα.

Η έννοια της διάστασης διανυσματικού χώρου.

Επίλυση ασκήσεων - παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων - στους διανυσματικούς χώρους.

Παρουσίαση των βασικών προτάσεων για την ένωση και τομή διανυσματικών υποχώρων. Οι έννοιες του αθροίσματος και του ευθέος αθροίσματος υποχώρων.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων. Παρουσίαση του βασικού θεωρήματος για τη διάσταση του αθροίσματος υποχώρων. Η διάσταση του ευθέος αθροίσματος υποχώρων.

Η έννοια της γραμμικής απεικόνισης, ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων.

Η έννοια του πυρήνα μίας γραμμικής απεικόνισης, ο πυρήνας ως υπόχωρος, το θεώρημα για τις ένα προς ένα απεικονίσεις.

Η έννοια της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης, η εικόνα απεικόνισης ως υπόχωρος, η έννοια του ισομορφισμού, ορισμοί και ασκήσεις.

Ανασκόπηση όλων των εννοιών που σχετίζονται με τις γραμμικές απεικόνισεις : πυρήνας, εικόνα, ισομορφισμοί, ισόμορφοι διανυσματικοί χώροι.

Το θεμελιώδες θεώρημα για τους πεπερασμένα παραγόμενους διανυσματικούς χώρους. Πίνακες και γραμμικές απεικονίσεις, πίνακες και γραμμικά συστήματα, το rank ενός πίνακα. Το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών.

Το βασικό θεώρημα για τη διάσταση του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης. Εφαρμογές και ασκήσεις.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στις γραμμικές απεικονίσεις.

Παράδειγμα εύρεσης της τάξης ενός πίνακα, μέσω μετασχηματισμών.

Παράδειγμα εύρεσης του πίνακα μίας γραμμικής απεικονίσης ως προς μία βάση ενός διανυσματικού χώρου. Το θεώρημα για τους πίνακες ισομορφισμών.

Παράδειγμα εύρεσης του πίνακα μίας γραμμικής απεικόνισης ως προς δύο διατεταγμένες βάσεις. Ασκήσεις στις σχέσεις πινάκων και γραμμικών απεικονίσεων.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στις γραμμικές απεικονίσεις.

Ανασκόπηση των εννοιών της τάξης (rank) ενός πίνακα, της γραμμικής απεικόνισης, του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης. Γραμμικές απεικονίσεις και βάσεις διανυσματικών χώρων.

Γραμμικές απεικονίσεις και πίνακες. Κατασκευή γραμμικής απεικόνισης από έναν πίνακα.

Ο αλγόριθμος εύρεσης του πίνακα μίας γραμμικής απεικόνισης ως προς δύο βάσεις διανυσματικών χώρων. Το rank ενός πίνακα που αντιστοιχεί σε ισομορφισμό. Κατασκευή μίας γραμμικής απεικόνισης από έναν πίνακα.

Οι πίνακες του αθροίσματος και της σύνθεσης γραμμικών απεικονίσεων. Το rank ενός πίνακα που είναι αντιστρέψιμος.

Κατασκευή μίας γραμμικής απεικόνισης από έναν πίνακα, μέσω διατεταγμένων βάσεων. Ανασκόπηση προτάσεων για τις γραμμικές απεικονίσεις και τους πίνακες.

Μελέτη του ομογενούς γραμμικού συστήματος με m το πλήθος εξισώσεις και n το πλήθος αγνώστους. Παραδείγματα επίλυσης ομογενούς και μη ομογενούς γραμμικού συστήματος.

Η απεικόνιση “ίχνος” (trace) ενός πίνακα. Ιδιότητες της απεικόνισης ίχνους πίνακα. Η έννοια της ισοδυναμίας πινάκων.

Γραμμικές απεικονίσεις και βάσεις διανυσματικών χώρων. Γραμμικά συστήματα εξισώσεων με σύνολο λύσεων κάποιον υπόχωρο. Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Εύρεση των υπόχωρων ενός διανυσματικού χώρου, παίρνοντας περιπτώσεις για τη διάσταση του υπόχωρου. Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Προσδιορισμός συστήματος εξισώσεων που έχει ως σύνολο λύσεων κάποιον υπόχωρο. Μοναδικότητα της γραφής ενός διανύσματος ως προς τα στοιχεία μίας βάσης διανυσματικού χώρου. Επίλυση ασκήσεων.

Προσδιορισμός του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης με γνωστό τύπο. Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Υπολογισμός των δυνάμεων ενός τετραγωνικού πίνακα.

Η έννοια του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ενός πίνακα. Επίλυση ασκήσεων στους πίνακες.

Η τάξη του γινομένου δύο πινάκων. Επίλυση ασκήσεων στους πίνακες.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στους πίνακες και τις γραμμικές απεικονίσεις.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στα συστήματα εξισώσεων, τις γραμμικές απεικονίσεις και τους διανυσματικούς χώρους.

Ορισμός της έννοιας της ορίζουσας ενός πίνακα. Ιδιότητες της ορίζουσας. Υπολογισμός της ορίζουσας ενός πίνακα 2x2. Ιδιότητες της ορίζουσας ενός πίνακα 2x2. Ορίζουσα και αντιστρεψιμότητα πινάκων.

Υπολογισμός της ορίζουσας ενός πίνακα 3x3. Ο κανόνας Sarus για τις ορίζουσες πινάκων 3x3.

Απόδειξη της ιδιότητας της ορίζουσας ενός γινομένου τετραγωνικών πινάκων. Ορίζουσα και αντιστρεψιμότητα τετραγωνικών πινάκων.

Υπολογισμός του αντίστροφου ενός τετραγωνικού πίνακα. Επίλυση τετραγωνικού γραμμικού συστήματος εξισώσεων με ορίζουσα διάφορη του μηδενός. Παραδείγματα και ασκήσεις.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στις γραμμικές απεικονίσεις.

Μετατροπή ενός πίνακα σε ανηγμένη κλιμακωτή μόρφη μέσω πολλαπλασιασμού με έναν αντιστρέψιμο πίνακα. Η έννοια του στοιχειώδους πίνακα.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στις γραμμικές απεικονίσεις.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στις γραμμικές απεικονίσεις.Εύρεση γραμμικών απεικονίσεων που πληρούν κάποιες ιδιότητες.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στις γραμμικές απεικονίσεις, τη γραμμική ανεξαρτήσια και τις ορίζουσες.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων στους πίνακες, στους διανυσματικούς χώρους και στις γραμμικές απεικονίσεις.

Η έννοια της ομοιότητας πινάκων. Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Πίνακες, ορίζουσες και γραμμικές απεικονίσεις : ασκήσεις

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Ποιες πληροφορίες μας δίνει η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή ενός πίνακα. Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων. Μελέτη και επίλυση γραμμικού συστήματος με άγνωστο παράγοντα.

Ανασκόπηση των εννοιών που σχετίζονται με διανυσματικούς χώρους και του θεωρήματος ανταλλαγής. Απόδειξη της γραμμικής ανεξαρτησίας διανυσμάτων με χρήση πίνακα και ορίζουσας.

Εύρεση του συνόλου λύσεων συστήματος γραμμικών εξισώσεων με χρήση ορίζουσας. Εύρεση γραμμικής απεικόνισης από δεδομένο πίνακα.Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Επίλυση ασκήσεων στους πίνακες, τις ορίζουσες και τις γραμμικές απεικονίσεις.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στα συστήματα εξισώσεων, τους πίνακες και τις ορίζουσες.