Γραμμική Άλγεβρα Ι

Η Γραμμική Άλγεβρα, εκτός από τη σημαντική της συνεισφορά στην ανάπτυξη άλλων κλάδων των Μαθηματικών, βρίσκει εφαρμογές στη Φυσική, τη Μηχανική, τη Βιολογία και την Οικονομία.

Μία βασική έννοια για τη μελέτη των γραμμικών συναρτήσεων είναι αυτή του διανυσματικού χώρου, ενώ ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για την κατανόησή τους είναι ο λογισμός των πινάκων.

Στην πρώτη ενότητα του μαθήματος παρουσιάζονται ορισμένες απαραίτητες εισαγωγικές έννοιες, καθώς και η σχέση των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τους πίνακες.

Στη δεύτερη ενότητα εισάγονται και μελετώνται οι διανυσματικοί χώροι και οι υπόχωροι τους. Περιγράφεται η σχέση της γραμμικής εξάρτησης και δίνεται ένας αποτελεσματικός τρόπος για την περιγραφή των χώρων αυτών, μέσω της έννοιας της βάσης. Ορίζεται επίσης η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου, η οποία αποτελεί βασικό εργαλείο για την ανάπτυξη της θεωρίας.

Στην τρίτη ενότητα εισάγεται η έννοια των γραμμικών απεικονίσεων μεταξύ δυο διανυσματικών χώρων και εξετάζονται διάφορες ιδιότητές τους. Μεταξύ άλλων, αποδεικνύεται ότι δύο διανυσματικοί χώροι είναι ισόμορφοι αν και μόνο αν έχουν την ίδια διάσταση. Επίσης, εξετάζεται ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να πάρουμε πληροφορίες για μία γραμμική απεικόνιση μελετώντας τον πυρήνα και την εικόνα της.

Τέλος, στην τέταρτη ενότητα εισάγεται η έννοια της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα και συνδέεται η αφηρημένη έννοια της γραμμικής απεικόνισης με τη θεωρία των πινάκων. Χρησιμοποιώντας τον αλγεβρικό λογισμό των πινάκων, η σχέση αυτή οδηγεί σε μία καλύτερη κατανόηση των γραμμικών απεικονίσεων, καθώς επίσης και σε μία περαιτέρω εμβάθυνση στη μελέτη του συνόλου των λύσεων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.