Γραμμική Άλγεβρα

Εισαγωγή στην έννοια του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Τι πληροφορίες δίνει.

Μετασχηματισμοί γραμμών και στηλών και οι επιπτώσεις τους στο χώρο στηλών και γραμμών αντίστοιχα. Θεωρήματα και αποδείξεις.

Μετασχηματισμοί γραμμών και στηλών, ισότητα μεταξύ διάστασης χώρου γραμμών και χώρου στηλών. Πορεία για απόδειξη.

Σχέση με την τάξη πίνακα και τι αντιπροσωπεύει ως προς το αρχικό.

Εξέταση του συνόλου λύσεων του αντίστοιχου ομεγενούς γραμμικού συστήματος.

Έννοια της γραμμικής απεικόνισης: ορισμός, παραδείγματα. Πίνακας γραμμικής απεικόνισης.

Ασκήσεις, θεωρήματα.

Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών ενός πίνακα, η έννοια του ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα.

Πως συνδέονται η ορίζουσα διάφορη του μηδενός, η τάξη πίνακα, η αντιστρεψιμότητα, ο ισομορφισμός και ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας.

Σύνθεση πινάκων γραμμικής απεικόνισης. Μέγιστη δυνατή τάξη πίνακα γραμμικής απεικόνισης και αντιστρεψιμότητα. Ασκήσεις και προτάσεις.

Πυρήνας και εικόνα γραμμικής απεικόνισης. Γραμμική απεικόνιση ένα προς ένα και επί. Ισομορφισμός.

Ιδιότητες και εφαρμογές.

Ασκήσεις, θεωρήματα. Ορίζουσα πινάκων νxν. Ορίζουσα τριγωνικών πινάκων.

Ορισμός και παραδείγματα.

Παραδείγματα, θεώρημα. Αντιμεταθέσεις στοιχείων.

Σύνολο λύσεων συστήματος, πίνακας συστήματος, ανηγμένος κλιμακωτός. Παραδείγματα και ασκήσεις.

Ορισμός, ασκήσεις. Κάθετος υπόχωρος.

Σύνδεση με τις γραμμικές απεικονίσεις. Διαγωνοποίηση πίνακα.

Επανάληψη εννοιών. Παραδείγματα.

Διαδικασία διαγωνοποίησης πίνακα.

Παραδείγματα και ασκήσεις. Σύνδεση με γραμμικά συστήματα, ορίζουσες και τάξη πίνακα.

Ασκήσεις προς λύση.

Ανάστροφος πίνακα και ορίζουσά του, τάξη πίνακα και ορίζουσα. Παραδείγματα ορίζουσας πινάκων 4x4. Πως υπολογίζουμε την ορίζουσα: προσαρτημένος και αντίστροφος πίνακας. Ο τύπος του Cramer.

Απόδειξη θεωρήματος

Ορισμός, παραδείγματα. Γραμμική ανεξαρτησία, διάσταση διανυσματικού χώρου, τάξη πίνακα.

Ο αλγόριθμος εύρεσης του πίνακα μίας γραμμικής απεικόνισης ως προς δύο διατεταγμένες βάσεις διανυσματικών χώρων. Κατασκευή μίας γραμμικής απεικόνισης από έναν πίνακα. Η διάσταση του συνόλου εικόνων είναι η τάξη του πίνακα.

Ορισμός, μέτρο ή μήκος διανύσματος, γωνία διανυσμάτων. Παραδείγματα και προτάσεις.

Ορισμοί και παραδείγματα.

Ισομορφισμός διανυσματικών χώρων, πορίσματα.

Γραμμική απεικόνιση ένα προς ένα και επί, ισομορφισμός διανυσματικών χώρων. Το βασικό θεώρημα για τη διάσταση του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης.

Χώρος γραμμών και στηλών, τάξη πίνακα, παράδειγμα. Πυρήνας και εικόνα γραμμικής απεικόνισης.

Διανυσματικός χώρος, γραμμική ανεξαρτησία, βάση διανυσματικού χώρου, διάσταση χώρου, τάξη πίνακα.

Σύνοψη όσων έχουν αναφερθεί έως τώρα, κυρίως στους πίνακες και στις γραμμικές απεικονίσεις: πράξεις πινάκων, ισομορφισμός, τάξη πίνακα και διάσταση εικόνας γραμμικής απεικόνισης. Πως βρίσκουμε την τάξη πίνακα, χώρος γραμμών και χώρος στηλών, ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας.

Ορισμός, ιδιότητες. Γραμμικός συνδυασμός

Ιδιότητες, πράξεις, παραδείγματα. Πράξεις μεταξύ πινάκων, γινόμενο πινάκων

Χρήσιμες πληροφορίες για το μάθημα. Παρουσίαση μερικών εφαρμογών της Γραμμικής Άλγεβρας: επίλυση γραμμικών συστημάτων με χρήση πινάκων και μετασχηματισμών

Επίλυση άσκησης

Ασκήσεις.

Ορισμός, ασκήσεις και εφαρμογές.

Πυρήνας και εικόνα γραμμικής απεικόνισης: ορισμοί, θεωρήματα, παραδείγματα. Αλγόριθμος κατασκευής πίνακα γραμμικής απεικόνισης ως προς βάσεις.

Ορισμός, παραδείγματα