Γραμμική Άλγεβρα

Ορισμός, παραδείγματα

Πυρήνας και εικόνα γραμμικής απεικόνισης: ορισμοί, θεωρήματα, παραδείγματα. Αλγόριθμος κατασκευής πίνακα γραμμικής απεικόνισης ως προς βάσεις.

Ορισμός, ασκήσεις και εφαρμογές.

Ασκήσεις.

Επίλυση άσκησης

Χρήσιμες πληροφορίες για το μάθημα. Παρουσίαση μερικών εφαρμογών της Γραμμικής Άλγεβρας: επίλυση γραμμικών συστημάτων με χρήση πινάκων και μετασχηματισμών

Ιδιότητες, πράξεις, παραδείγματα. Πράξεις μεταξύ πινάκων, γινόμενο πινάκων

Ορισμός, ιδιότητες. Γραμμικός συνδυασμός

Σύνοψη όσων έχουν αναφερθεί έως τώρα, κυρίως στους πίνακες και στις γραμμικές απεικονίσεις: πράξεις πινάκων, ισομορφισμός, τάξη πίνακα και διάσταση εικόνας γραμμικής απεικόνισης. Πως βρίσκουμε την τάξη πίνακα, χώρος γραμμών και χώρος στηλών, ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας.

Διανυσματικός χώρος, γραμμική ανεξαρτησία, βάση διανυσματικού χώρου, διάσταση χώρου, τάξη πίνακα.

Χώρος γραμμών και στηλών, τάξη πίνακα, παράδειγμα. Πυρήνας και εικόνα γραμμικής απεικόνισης.

Γραμμική απεικόνιση ένα προς ένα και επί, ισομορφισμός διανυσματικών χώρων. Το βασικό θεώρημα για τη διάσταση του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης.

Ισομορφισμός διανυσματικών χώρων, πορίσματα.

Ορισμοί και παραδείγματα.

Ορισμός, μέτρο ή μήκος διανύσματος, γωνία διανυσμάτων. Παραδείγματα και προτάσεις.

Ο αλγόριθμος εύρεσης του πίνακα μίας γραμμικής απεικόνισης ως προς δύο διατεταγμένες βάσεις διανυσματικών χώρων. Κατασκευή μίας γραμμικής απεικόνισης από έναν πίνακα. Η διάσταση του συνόλου εικόνων είναι η τάξη του πίνακα.

Ορισμός, παραδείγματα. Γραμμική ανεξαρτησία, διάσταση διανυσματικού χώρου, τάξη πίνακα.

Απόδειξη θεωρήματος

Ανάστροφος πίνακα και ορίζουσά του, τάξη πίνακα και ορίζουσα. Παραδείγματα ορίζουσας πινάκων 4x4. Πως υπολογίζουμε την ορίζουσα: προσαρτημένος και αντίστροφος πίνακας. Ο τύπος του Cramer.

Ασκήσεις προς λύση.

Παραδείγματα και ασκήσεις. Σύνδεση με γραμμικά συστήματα, ορίζουσες και τάξη πίνακα.

Διαδικασία διαγωνοποίησης πίνακα.

Επανάληψη εννοιών. Παραδείγματα.

Σύνδεση με τις γραμμικές απεικονίσεις. Διαγωνοποίηση πίνακα.

Ορισμός, ασκήσεις. Κάθετος υπόχωρος.

Σύνολο λύσεων συστήματος, πίνακας συστήματος, ανηγμένος κλιμακωτός. Παραδείγματα και ασκήσεις.

Παραδείγματα, θεώρημα. Αντιμεταθέσεις στοιχείων.

Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις, θεωρήματα. Ορίζουσα πινάκων νxν. Ορίζουσα τριγωνικών πινάκων.

Ιδιότητες και εφαρμογές.

Πυρήνας και εικόνα γραμμικής απεικόνισης. Γραμμική απεικόνιση ένα προς ένα και επί. Ισομορφισμός.

Σύνθεση πινάκων γραμμικής απεικόνισης. Μέγιστη δυνατή τάξη πίνακα γραμμικής απεικόνισης και αντιστρεψιμότητα. Ασκήσεις και προτάσεις.

Πως συνδέονται η ορίζουσα διάφορη του μηδενός, η τάξη πίνακα, η αντιστρεψιμότητα, ο ισομορφισμός και ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας.

Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών ενός πίνακα, η έννοια του ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα.

Ασκήσεις, θεωρήματα.

Έννοια της γραμμικής απεικόνισης: ορισμός, παραδείγματα. Πίνακας γραμμικής απεικόνισης.

Εξέταση του συνόλου λύσεων του αντίστοιχου ομεγενούς γραμμικού συστήματος.

Σχέση με την τάξη πίνακα και τι αντιπροσωπεύει ως προς το αρχικό.

Μετασχηματισμοί γραμμών και στηλών, ισότητα μεταξύ διάστασης χώρου γραμμών και χώρου στηλών. Πορεία για απόδειξη.

Μετασχηματισμοί γραμμών και στηλών και οι επιπτώσεις τους στο χώρο στηλών και γραμμών αντίστοιχα. Θεωρήματα και αποδείξεις.

Εισαγωγή στην έννοια του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Τι πληροφορίες δίνει.