Γραμμική Άλγεβρα Ι

Η έννοια της γραμμικής απεικόνισης, ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων.

Η έννοια του πυρήνα μίας γραμμικής απεικόνισης, ο πυρήνας ως υπόχωρος, το θεώρημα για τις ένα προς ένα απεικονίσεις.

Η έννοια της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης, η εικόνα απεικόνισης ως υπόχωρος, η έννοια του ισομορφισμού, ορισμοί και ασκήσεις.

Ανασκόπηση όλων των εννοιών που σχετίζονται με τις γραμμικές απεικόνισεις : πυρήνας, εικόνα, ισομορφισμοί, ισόμορφοι διανυσματικοί χώροι.

Το θεμελιώδες θεώρημα για τους πεπερασμένα παραγόμενους διανυσματικούς χώρους. Πίνακες και γραμμικές απεικονίσεις, πίνακες και γραμμικά συστήματα, το rank ενός πίνακα. Το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών.

Το βασικό θεώρημα για τη διάσταση του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης. Εφαρμογές και ασκήσεις.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στις γραμμικές απεικονίσεις.

Παράδειγμα εύρεσης της τάξης ενός πίνακα, μέσω μετασχηματισμών.

Παράδειγμα εύρεσης του πίνακα μίας γραμμικής απεικονίσης ως προς μία βάση ενός διανυσματικού χώρου. Το θεώρημα για τους πίνακες ισομορφισμών.

Παράδειγμα εύρεσης του πίνακα μίας γραμμικής απεικόνισης ως προς δύο διατεταγμένες βάσεις. Ασκήσεις στις σχέσεις πινάκων και γραμμικών απεικονίσεων.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στις γραμμικές απεικονίσεις.

Ανασκόπηση των εννοιών της τάξης (rank) ενός πίνακα, της γραμμικής απεικόνισης, του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης. Γραμμικές απεικονίσεις και βάσεις διανυσματικών χώρων.

Γραμμικές απεικονίσεις και πίνακες. Κατασκευή γραμμικής απεικόνισης από έναν πίνακα.

Ο αλγόριθμος εύρεσης του πίνακα μίας γραμμικής απεικόνισης ως προς δύο βάσεις διανυσματικών χώρων. Το rank ενός πίνακα που αντιστοιχεί σε ισομορφισμό. Κατασκευή μίας γραμμικής απεικόνισης από έναν πίνακα.

Οι πίνακες του αθροίσματος και της σύνθεσης γραμμικών απεικονίσεων. Το rank ενός πίνακα που είναι αντιστρέψιμος.

Κατασκευή μίας γραμμικής απεικόνισης από έναν πίνακα, μέσω διατεταγμένων βάσεων. Ανασκόπηση προτάσεων για τις γραμμικές απεικονίσεις και τους πίνακες.

Μελέτη του ομογενούς γραμμικού συστήματος με m το πλήθος εξισώσεις και n το πλήθος αγνώστους. Παραδείγματα επίλυσης ομογενούς και μη ομογενούς γραμμικού συστήματος.

Η απεικόνιση “ίχνος” (trace) ενός πίνακα. Ιδιότητες της απεικόνισης ίχνους πίνακα. Η έννοια της ισοδυναμίας πινάκων.

Γραμμικές απεικονίσεις και βάσεις διανυσματικών χώρων. Γραμμικά συστήματα εξισώσεων με σύνολο λύσεων κάποιον υπόχωρο. Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Εύρεση των υπόχωρων ενός διανυσματικού χώρου, παίρνοντας περιπτώσεις για τη διάσταση του υπόχωρου. Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Προσδιορισμός συστήματος εξισώσεων που έχει ως σύνολο λύσεων κάποιον υπόχωρο. Μοναδικότητα της γραφής ενός διανύσματος ως προς τα στοιχεία μίας βάσης διανυσματικού χώρου. Επίλυση ασκήσεων.

Προσδιορισμός του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης με γνωστό τύπο. Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων.

Υπολογισμός των δυνάμεων ενός τετραγωνικού πίνακα.

Η έννοια του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ενός πίνακα. Επίλυση ασκήσεων στους πίνακες.

Η τάξη του γινομένου δύο πινάκων. Επίλυση ασκήσεων στους πίνακες.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στους πίνακες και τις γραμμικές απεικονίσεις.

Επίλυση ασκήσεων – παλαιότερων θεμάτων εξετάσεων – στα συστήματα εξισώσεων, τις γραμμικές απεικονίσεις και τους διανυσματικούς χώρους.