Πιθανότητες και Στατιστική

- Η Διωνυμίκη Τυχαία Μεταβλητή (συνέχεια)
- Η Γεωμετρική Τυχαία Μεταβλητή
- Η Τυχαία Μεταβλητή Poisson

- Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές, Κλασικές Κατανομές
- Ορισμοί
- Αθροίσματα Διωνυμικών Συντελεστών
- Βασικές σειρές
- Η Δίτιμη Τυχαία Μεταβλητή Bernouli
- Η Διωνυμική Τυχαία Μεταβλητή

- Γενίκευση: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές
- Παραδείγματα:
1. Μέση Τιμή Διωνυμικής Τυχαίας Μεταβλητής
2. Το Πρόβλημα των Συναντήσεων
- Δεσμευμένη Τυχαία Μεταβλητή από Γεγονός
- Παράδειγμα: Τρεις Ρίψεις Νομίσματος (συνέχεια)

- Πολυδιάστατες Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές
- Ορισμός Διδιάστατης Τυχαίας Μεταβλητής
- Υπολογισμός Πιθανοτήτων / Περιθώριες
- Συναρτήσεις Διδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές
- Διδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές και Μέση Τιμή
- Παράδειγμα: Τρεις ρίψης νομίζσματος

- Δεσμευμένη μέση τιμή. Ορισμοί
- Δεσμευμένη μέση τιμή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής
- Δεσμευμένη μέση τιμή: Ιδιότητες
1. Θεώρημα Ολικής μέσης τιμής με σύνολα
2. Θεώρημα Ολικής μέσης τιμής με άλλη τυχαία μεταβλητή
- Παραδείγματα:
1. Μέση τιμή και διασπορά γεωμετρικής τ.μ.
2. μέρες μέχρι την ελευθερία

- Δέσμευση τυχαίων μεταβλητών / Δεσμευμένη μέση τιμή
- Δεσμευμένη τυχαία μεταβλητή από γεγονός
- Υπολογιστικά θεωρήματα με δεσμ. σμπ.:
1. Πολλαπλασιαστικός Νόμος
2. Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας
3. Κανόνας του Beyes
- Παράδειγμα: Αριθμός διαγωνισμάτων μέχρι την επιτυχία
- Δεσμευμένη τυχαία μεταβλητή από άλλη τυχαία μεταβλητή
- Παράδειγμα: Λάθη απαντήσεων καθηγητή

- Δέσμευση - Ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών
- Ανεξαρτησία και Διασπορά
- Ανεξαρτησία πολλών τ.μ.
- Εφαρμογές:
1. Η Διωνυμική τ.μ.
2. Ο Δειγματικός μέσος

- Δέσμευση - Ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών
- Ανεξαρτησία τ.μ. και γεγονότος
- Παράδειγμα: Ρίψη νομίσματος δύο φορές
- Ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών
- Ανεξαρτησία και συναρτήσεις τ.μ.
- Ανεξαρτησία και μέση τίμη

- Η Διωνυμική Τυχαία Μεταβλητή (συνέχεια)
- Η Γεωμετρική Τυχαία Μεταβλητή
- Η Τυχαία Μεταβλητή Poisson
- Άλλες κλασικές μεταβλητές
- Άσκηση: Υπολογισμός Πιθανοτήτων διακριτής τ.μ.

Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές
- Ορισμός τυχαίας μεταβλητής
- Παραδείγματα:
1 - Τρεις ρίψεις νομίσματος
2 - Ρίψη βέλους σε κυκλικό στόχο
- Βασικές Έννοιες Τυχαίων Μεταβλητών
- Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές
- Η Δίτιμη Τυχαία Μεταβλητή Bernouli
- Η Διωνυμική Τυχαία Μεταβλητή

- Βασικά Αθροίσματα (συνέχεια)
- Βασικές Σειρές
- Ιδιότητες Μέσης Τιμής και Διασποράς
- Άσκηση: Τι να απαντήσω πρώτα;

- Διακριτές Τυχαίες μεταβλητές / Συναρτήσεις, μέση τιμή, Διασπορά
- Συνάρτηση Τυχαίας Μεταβλητής
- Μέση Τιμή: Εισαγωγικό παράδειγμα, Ορισμός
- Ορισμός Διασποράς, παράδειγμα
- Ροπές Τυχαίας Μεταβλητής
- Τυπική Απόκλιση
- Βασικά αθροίσματα

Ενότητα 1:
- Άσκηση 2. Τρεις παίχτες ρίχνουν ζάρι
- Άσκηση 3. Ρίψη ζεύγους τετράεδρων ζαριών
- Άσκηση 4. Ρωμαίος και Ιουλιέτα

Ενότητα 1: Βασικές έννοιες και αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων
- Πλαίσιο
- Έννοιες πιθανότητας
= Κλασική Πιθανότητα
- Οριακή Σχετική Συχνότητα
- Γεωμετρική Πιθανότητα
- Αξιωματική Θεμελίωση Kolmogorov
- ;Άσκηση: Το Δίλημμα Monty Hall

- Διακριτός χώρος πιθανοτήτων
- Ομοιόμορφος Διακριτός χώρος πιθανοτήτων
- Παράδειγμα: Φύλο παιδιών οικογένειας
- Ασκήσεις:
1. Τρεις φίλοι - Κέρασμα
2. Παιχνίδι Chuck-a-luck

- Αξιωματική θεμελίωση Kolmogorov
- Βασικές Ιδιότητες των πιθανοτήτων

- Βασικά υπολογιστικά θεωρήματα
Άσκηση: Αιματολογικό τεστ
Παραδείγματα:
1. Οικογένεια με δύο παιδιά
2. Ερώτηση πολλαπλής επιλογής
3. Καρτες

- Δεσμευμένη πιθανότητα. Βασικές ιδιότητες
- Νέα μέτρα πιθανότητας
- Παραδείγματα

- Ανεξαρτησία & Ανεξαρτησία υπό δέσμευση
- Παράδειγμα: 2 ρίψεις δίκαιου νομίσματος
- Παράδειγμα: Επιλογή νομίσματός μπλε ή κόκκινο
- Έννοιες
- Ασκήσεις:
1. Επιλογή τραπουλόχαρτου
2. Επιλογή αριθμού από [1, 2, ..., n]

- Ανεξαρτησία ενδεχομένων
- Διαισθητική έννοια ανεξαρτησίας
- Ανεξαρτησία για 2 ενδεχόμενα
- Ασυμβίβαστα - Ανεξάρτητα

- Πρόβλημα: Μεταθέσεις n ειδών στοιχείων
- Εφαρμογές:
1. Πλήθος υποσυνόλων συνόλου
2, Αναγραμματισμοί:
3. Διωνυμικές πιθανότητες
- Άσκηση: Επιτροπή από ζευγάρια

- Συνδυαστική και πιθανότητες
- Η Πολλαπλασιαστική αρχή
- Διατάξεις - Μεταθέσεις
- Διαμερίσεις

- Δεσμευμένη πιθανότητα
- Συνδυαστικά επιχειρήματα
- Παραδείγματα:
1. Παιχνίδι LOTTO
2. Το πρόβλημα γενεθλίων
3. Το πρόβλημα των συναντήσεων

- Δεσμευμένη πιθανότητα
- Συνδυαστικά επιχειρήματα
- Γενικά θεωρήματα Δέσμευσης
- Παράδειγμα: Παιχνίδι LOTTO

Παραδείγματα και ασκήσεις (συνέχεια): - Δεσμευμένη πιθανότητα & Συνδυαστικά επιχειρήματα
1. Πρώτα ζάρι μετά νόμισμα
2. Μονομαχία με τη σειρά
3. Χέρι πόκερ
Άσκηση:
1. Μοίρασμα τράπουλας σε 4 παίχτες

Παραδείγματα και ασκήσεις: - Δεσμευμένη πιθανότητα & Συνδυαστικά επιχειρήματα
1. Ασφάλεια αυτοκινήτου
2. Οδήγηση σε κατάσταση μέθης
3. Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη

- Η συνεχής ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή
- Η Εκθετική Κατανομή

- Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές - Συνάρτηση Κατανομής
- Ορισμός τυχαίας μεταβλητής
- Παράδειγμα: Ρίψη βέλους σε κυκλικό στόχο
- Διαφορές / Ομοιότητες: Συναρτήσεις μάζας πιθανότητας - Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας
- Μέση τιμή και Διασπορά συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

- Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, συνάρτηση κατανομής. Ασκήσεις:
1. Υπολογισμοί για συνεχείς τ.μ.
2, Συναρτήσεις συνεχούς τ.μ.
3, Μη-φραγμένη συνεχή τυχαία μεταβλητή

- Κανονικές τυχαίες μεταβλητές
- Πολυδιάστατες συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
- Ορισμός κανονικής τ.μ.
- Σημασία των κανονικών τ.μ.
- Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
- Τυποποιημένη κανονική
- Διαδικασία υπολογισμών για κανονική τ.μ.
- Παράδειγμα: Ύψος χιονόπτωσης
- Πίνακας τιμών κανονικής κατανομής

- Άσκηση: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σε ορθογώνιο (συνέχεια)
- Άσκηση: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σε τρίγωνο
- Δέσμευση σε ενδεχόμενο
Παράδειγμα: Χρόνος στη στάση

- Πολυδιάστατες συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, Δέσμευση
- Διδιάστατη συνεχής τυχαίας μεταβλητής
- Περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας
- Αναλογία διακριτών-συνεχών (πολυδιάστατων)
- Από κοινού συναρτήσεις κατανομής
- Γενίκευση: Περισσότερες από δύο τυχαίες μεταβλητές
- Άσκηση: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σε ορθογώνιο

- Ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών
- Ανεξαρτησία, συναρτ. τ.μ., μέση τιμή, Διασπορά
- Ασκήσεις

- Δέσμευση, ανεξαρτησία τυχαίας μεταβλητής
- Δέσμευση σε τυχαία μεταβλητή
- Υπολογιστικά θεωρήματα με τη δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
- Δεσμευμένη μέση τιμή

- Μετασχηματισμοί: Ορισμός, Ιδιότητες
- Παραδείγματα:
1. Μετασχηματισμός διακριτής τυχαίας μεταβλητής
2. Μετασχηματισμός τυχαίας μεταβλητής Poisson
3. Μετασχηματισμός γεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής
4. Μετασχηματισμός εκθετικής τυχαίας μεταβλητής

- Συνδιακύμανση, Συσχέτιση, Μετασχηματισμοί
- Συνδιακύμανση: Ορισμός, Ιδιότητες
- Διασπορά αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών
- Συντελεστής (γραμμικής) συσχέτισης δύο τυχαίων μεταβλητών: Ορισμός, Ιδιότητες

- Ανισότητα Chebyshev. τι συμβαίνει όταν Var[x]=0
- Ασθενής νόμος μεγάλων αριθμών
- Κεντρικό οριακό θεώρημα (1η μορφή)
- Κεντρικό οριακό θεώρημα (2η μορφή)
- Ερμηνεία του Κεντρικού οριακού θεωρήματος
- Κεντρικό οριακό θεώρημα: Τρόπος εργασίας
- Άσκηση 1: Συνολικό φορτίο αεροπλάνου
- Άσκηση 2: Συνολική παραγωγή σε καθορισμένο χρόνο

- Ανισότητες και Οριακά θεωρήματα, στην Θεωρία Πιθανοτήτων
- Ανισότητα Markov
- Ανισότητα Chebyshev
- Ανισότητα Chernoff
- Ανισότητα Cauchy-Schwartz
- Ανισότητα Jensen

- Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
- Άσκηση: Προσδιορισμός ελαχίστου αριθμό κλινών σε ένα νοσοκομείο
- Άσκηση: Εισόδημα χαρτοπαίκτη

- Κεντρικό Οριακό Θεώρημα: Εφαρμογές και ασκήσεις
- Κεντρικό Οριακό Θεώρημα De Moivre , Laplace
- διόρθωση συνέχειας - Ποιότητα προσέγγισης
- Παραδείγματα:
1. Σύγκριση προσεγγίσεων
2. Προσεγγιστικός υπολογισμός σημιακής διωνυμικής πιθανότητας
- άσκηση: Συνολικό κέρδος από ρίψεις ζαριού

- Αμερόληπτη Δειγματική Διασπορά
- Εκτημήτριες μέγιστης Πιθανοφάνειας
- Διαισθητική ερμηνεία Εκτιμητριών μέγιστης Πιθανοφάνειας
- Παράδειγμα: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη
- Άσκηση: ΕΜΠ από τ.δ. Διωνύμικης

- Στατιστική. Βασική Εκτιμητική
- Κλασική Στατιστική Συμπερασματολογία
- Παράδειγμα: Χρόνος ζωής εξαρτημάτων
- Βασικές έννοιες
- Σφάλματα, Μεροληψία
- Κλασικές εκτημίτριες μέσου και διασποράς

- Παράδειγμα: - Διαστήματα Εμπιστοσύνης για ποσοστά, διαφορά ποσοστών (συνέχεια)
- Παράδειγμα: Περιορισμός μεγέθους δείγματος

- Διαστήματα Εμπιστοσύνης
- Διαστήματα εμπιστοσύνης για το μ κανονικής κατανομής
- Γενική μέθοδος κατασκευής Διαστήματος εμπιστοσύνης
- Παράδειγμα: - Διαστήματα Εμπιστοσύνης για ποσοστά, διαφορά ποσοστών

- Λήμμα Neyman Pearson / Παραδείγματα

- Έλεγχοι υποθέσεων, Γραμμική Παλινδρόμηση
- Πλαίσιο στατιστικών ελέγχων υποθέσεων
- Πηλίκο πιθανοφάνειας