Θεωρία Galois

Ενότητες

Ενότητα 3: Αυτομορφισμοί σωμάτων, η αντιστοιχία Galois, επιλυσιμότητα εξισώσεων με ριζικά

Ορίζεται η ομάδα των αυτομορφισμών ενός σώματος και οι κανονικές επεκτάσεις. Αποδεικνύεται το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας και εξετάζεται η επιλυσιμότητα των πολυωνυμικών εξισώσεων με ριζικά.

 

Λέξεις κλειδιά: αυτομορφισμοί σώματος, αντιστοιχία Galois, επίλυση με ριζικά

Βιντεοσκοπημένες Διαλέξεις

Επεκτάσεις Galois

Ομάδα Galois. Κανονικές επεκτάσεις και επεκτάσεις Galois.

Κανονική επέκταση σωμάτων: συνέχεια

Παρατηρήσεις, πρόταση. Απόδειξη του αντίστροφου του προηγούμενου λήμματος. Σύνδεση με σώματα ριζών.

Κανονική επέκταση σωμάτων

Ορισμός, λήμμα.

Πεπερασμένες ομάδες αυτομορφισμών

Πρόταση, απόδειξη, πόρισμα.

Ομάδα αυτομορφισμών

Υποομάδες αυτομορφισμών, υποσώματα. Παρατηρήσεις, ιδιότητες.

Αυτομορφισμός σωμάτων: συνέχεια

Λήμμα, απόδειξη. Πεπερασμένα σώματα.

Αυτομορφισμός σωμάτων

Ο Αυτομορφισμός σώματος λαμβάνει τη δομή μιας ομάδας. Ορισμοί, παρατηρήσεις.

Επεκτάσεις Galois και σώματα ριζών

Παρατηρήσεις, παραδείγματα.

Επεκτάσεις Galois: συνέχεια

Κάθε κανονική επέκταση είναι επέκταση Galois για υποσώματα στο C. Προτάσεις, απόδειξη.

Επεκτάσεις Galois και σώματα ριζών

Πόρισμα, απόδειξη, παρατηρήσεις.

Επεκτάσεις Galois και ισομορφισμός ομάδων

Απόδειξη του αντίστροφου του προηγούμενου πορίσματος. Συμμετρικές ομάδες και ομορφισμός ομάδων.

Επεκτάσεις Galois και ισομορφισμός ομάδων: συνέχεια

Παράδειγμα: Ομορφισμός ομάδων.

Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois

Απόδειξη.

Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois: συνέχεια

Υπενθύμιση επέκταης Galois.

Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois: παραδείγματα

Παραδείγματα, εφαρμογές.

Σώμα ριζών πολυωνύμου

Παράδειγμα του x κύβου μείον 2 στο Q[x]

Πρωταρχικές γεννήτορες

Ορισμοί, κυκλοτομικό πολυώνυμο.

Πρωταρχικές γεννήτορες: συνέχεια

Κυκλοτομικά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές. Υπολογισμοί, ιδιότητες.

Ν-οστό κυκλοτομικό πολυώνυμο

Εφαρμογή. Παρατηρήσεις.

Ν-οστό κυκλοτομικό πολυώνυμο: συνέχεια

Πόρισμα, απόδειξη.

Κυκλική ομάδα αυτομορφισμών

Ομάδα αυτομορφισμών κυκλικής τάξης n.

Κυκλική ομάδα αυτομορφισμών: συνέχεια

Επέκταση με ριζικά, πολυώνυμα και επίλυση με ριζικά. Πρόβλημα: πότε ένα πολυώνυμο επιλύεται με ριζικά.

Επέκταση με ριζικά

Επέκταση Galois με ριζικά, περιπτώσεις.

Δομή ομάδας Galois

Επιλύσιμες ομάδες, πεπερασμένες ομάδες. Παραδείγματα.

Επιλύσιμες ομάδες

Προτάσεις. Γενική εξίσωση βαθμού n.