Θεωρία Galois
Ενότητες
Ορίζεται η ομάδα των αυτομορφισμών ενός σώματος και οι κανονικές επεκτάσεις. Αποδεικνύεται το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας και εξετάζεται η επιλυσιμότητα των πολυωνυμικών εξισώσεων με ριζικά.
Λέξεις κλειδιά: αυτομορφισμοί σώματος, αντιστοιχία Galois, επίλυση με ριζικά
Βιντεοσκοπημένες Διαλέξεις | ||
| Επεκτάσεις Galois Ομάδα Galois. Κανονικές επεκτάσεις και επεκτάσεις Galois. |
||
| Κανονική επέκταση σωμάτων: συνέχεια Παρατηρήσεις, πρόταση. Απόδειξη του αντίστροφου του προηγούμενου λήμματος. Σύνδεση με σώματα ριζών. |
||
| Κανονική επέκταση σωμάτων Ορισμός, λήμμα. |
||
| Πεπερασμένες ομάδες αυτομορφισμών Πρόταση, απόδειξη, πόρισμα. |
||
| Ομάδα αυτομορφισμών Υποομάδες αυτομορφισμών, υποσώματα. Παρατηρήσεις, ιδιότητες. |
||
| Αυτομορφισμός σωμάτων: συνέχεια Λήμμα, απόδειξη. Πεπερασμένα σώματα. |
||
| Αυτομορφισμός σωμάτων Ο Αυτομορφισμός σώματος λαμβάνει τη δομή μιας ομάδας. Ορισμοί, παρατηρήσεις. |
||
| Επεκτάσεις Galois και σώματα ριζών Παρατηρήσεις, παραδείγματα. |
||
| Επεκτάσεις Galois: συνέχεια Κάθε κανονική επέκταση είναι επέκταση Galois για υποσώματα στο C. Προτάσεις, απόδειξη. |
||
| Επεκτάσεις Galois και σώματα ριζών Πόρισμα, απόδειξη, παρατηρήσεις. |
||
| Επεκτάσεις Galois και ισομορφισμός ομάδων Απόδειξη του αντίστροφου του προηγούμενου πορίσματος. Συμμετρικές ομάδες και ομορφισμός ομάδων. |
||
| Επεκτάσεις Galois και ισομορφισμός ομάδων: συνέχεια Παράδειγμα: Ομορφισμός ομάδων. |
||
| Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois Απόδειξη. |
||
| Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois: συνέχεια Υπενθύμιση επέκταης Galois. |
||
| Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois: παραδείγματα Παραδείγματα, εφαρμογές. |
||
| Σώμα ριζών πολυωνύμου Παράδειγμα του x κύβου μείον 2 στο Q[x] |
||
| Πρωταρχικές γεννήτορες Ορισμοί, κυκλοτομικό πολυώνυμο. |
||
| Πρωταρχικές γεννήτορες: συνέχεια Κυκλοτομικά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές. Υπολογισμοί, ιδιότητες. |
||
| Ν-οστό κυκλοτομικό πολυώνυμο Εφαρμογή. Παρατηρήσεις. |
||
| Ν-οστό κυκλοτομικό πολυώνυμο: συνέχεια Πόρισμα, απόδειξη. |
||
| Κυκλική ομάδα αυτομορφισμών Ομάδα αυτομορφισμών κυκλικής τάξης n. |
||
| Κυκλική ομάδα αυτομορφισμών: συνέχεια Επέκταση με ριζικά, πολυώνυμα και επίλυση με ριζικά. Πρόβλημα: πότε ένα πολυώνυμο επιλύεται με ριζικά. |
||
| Επέκταση με ριζικά Επέκταση Galois με ριζικά, περιπτώσεις. |
||
| Δομή ομάδας Galois Επιλύσιμες ομάδες, πεπερασμένες ομάδες. Παραδείγματα. |
||
| Επιλύσιμες ομάδες Προτάσεις. Γενική εξίσωση βαθμού n. |
||
