Άλγεβρα

Ενότητες

Ενότητα 1 : Πολυωνυμικές σχέσεις - Θεωρία Galois

Πολυώνυμο μίας μεταβλητής

  • Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες
  • Πολυώνυμα μίας μεταβλητής τρίτου και τετάρτου βαθμού
  • Έννοιες της Θεωρίας Ομάδων
  • Τα Θεωρήματα Sylow
  • Έννοιες από τη Θεωρία Galois
  • Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη
  • Ισομετρίες

 

Λέξεις κλειδιά: πολυώνυμα, σχέσεις, ταυτότητες, ομάδες, συμμετρίες, ισομετρίες, Sylow, Galois, κατασκευές, κανόνα, διαβήτη

Σημειώσεις

Ενότητα 1 - Πολυωνυμικές σχέσεις (PDF)

 

Βιντεοδιαλέξεις

01-Εισαγωγή μαθήματος - μέρος Ι

Εισαγωγή μαθήματος, απόδειξη του θεωρήματος για τις ακέραιες λύσεις εξισώσεων με δύο αγνώστους, εφαρμογές και παραδείγματα. Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος.

02-Εισαγωγή μαθήματος - μέρος ΙΙ

Το θεώρημα του Dirichlet για τις αριθμητικές προόδους, οι πυθαγόρειες τριάδες και μία γεωμετρική ερμηνεία τους. Εφαρμογές της θεωρίας αριθμών στην κρυπτογραφία.

03-Συστήματα πολυωνυμικών εξισώσεων και ιδεώδη

Μελέτη και επίλυση συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων μίας μεταβλητής. Η έννοια του ιδεώδους – ορισμός και ιδιότητες.

04-Πολυώνυμα μίας μεταβλήτης τρίτου βαθμού

Μελέτη και επίλυση πολυωνύμων μίας μεταβλητής τρίτου βαθμού.

05-Πολυωνυμικές εξισώσεις τρίτου βαθμού - μέρος Ι

Μελέτη και επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων τρίτου βαθμού, μίας μεταβλητής. Η μέθοδος Cardano.

06-Πολυωνυμικές εξισώσεις τρίτου βαθμού – μέρος ΙΙ

Μελέτη και επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων τρίτου βαθμού, μίας μεταβλητής.

07-Πολυωνυμικές εξισώσεις τετάρτου βαθμού

Μελέτη και επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων τετάρτου βαθμού, μίας μεταβλητής.

08-Ρητοποίηση παρονομαστή

Ρητοποίηση παρονομαστή, αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί, ιδεώδη και ελάχιστα πολυώνυμα.

09-Ασκήσεις και παρατηρήσεις στα πολυώνυμα - μέρος Ι

Επίλυση ασκήσεων στα πολυώνυμα με ρητούς συντελεστές. Σώμα ριζών ενός πολυωνύμου.

10-Ασκήσεις και παρατηρήσεις στα πολυώνυμα – μέρος ΙΙ

Επίλυση ασκήσεων στα πολυώνυμα με ρητούς συντελεστές. Σώμα ριζών ενός πολυωνύμου.

11-Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη
12-Ιδιότητες των κατασκευάσιμων σημείων

Προτάσεις και θεωρήματα για τα κατασκευάσιμα σημεία. Τριχοτόμηση γωνίας.

13-Εφαρμογές στις κατασκευές με κανόνα και διαβήτη

Εφαρμογή της θεωρίας πολυωνύμων στις κατασκευές με κανόνα και διαβήτη.

20-Μελέτη πολυωνύμων τετάρτου βαθμού

Μελέτη και μεθοδολογία επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων τετάρτου βαθμού, μίας μεταβλητής.

21-Μελέτη πολυωνύμων τρίτου βαθμού

Μελέτη και μεθοδολογία επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων τρίτου βαθμού, μίας μεταβλητής.

22-Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και συμμετρίες

Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και συμμετρίες ενός ισόπλευρου τριγώνου. Η διεδρική ομάδα D3. Η ομάδα συμμετριών ενός τετραέδρου.

23-Η ομάδα Galois

Η ομάδα Galois των αυτομορφισμών ενός σώματος ριζών. Οι αυτομορφισμοί των ρητών και των πραγματικών αριθμών.

24-Ασκήσεις στις ομάδες Galois

Επίλυση ασκήσεων στις ομάδες Galois. Ο ισομορφισμός μεταξύ πινάκων και μιγαδικών αριθμών.

25-Ομάδες μεταθέσεων και ισομορφισμοί

Ομάδες μεταθέσεων και ισομορφισμοί ομάδων.

26-Ισομορφισμοί ομάδων Galois

Ισομορφισμοί ομάδων Galois με ομάδες μεταθέσεων.

27-Ισομετρίες : ορισμός και παραδείγματα

Η έννοια της ισομετρίας, ορισμός και παραδείγματα. Ισομετρίες στο σύνολο των πραγματικών και στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

28-Η ομάδα των ισομετριών

Ισομετρίες στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Η ομάδα των ισομετριών στους μιγαδικούς αριθμούς.

29-Το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois

Οι έννοιες της υποομάδας και του συμπλόκου. Κανονικές υποομάδες και ομάδες πηλίκο. Το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois.

30-Θεωρήματα Sylow

Τα θεωρήματα Sylow για τις πεπερασμένες ομάδες. P-υποομάδες Sylow.

32-Εφαρμογές των θεωρημάτων Sylow

Εφαρμογές των θεωρημάτων Sylow στη συμμετρική ομάδα S3 και στη διεδρική ομάδα D3.

32-Ομάδες : ανασκόπηση εννοιών

Ανασκόπηση των εννοιών που σχετίζονται με τις ομάδες. Το θεώρημα Lagrange για τις πεπερασμένες ομάδες.

33-Κατάταξη ομάδων - μέρος Ι

Κατάταξη των ομάδων σύμφωνα με την τάξη τους. Ισομορφισμοί πεπερασμένων ομάδων με την ομάδα των πινάκων και την ομάδα μεταθέσεων.

34-Κατάταξη ομάδων - μέρος ΙΙ

Κατάταξη των ομάδων σύμφωνα με την τάξη τους.