Απειροστικός Λογισμός III
Σοφοκλής Μερκουράκης
Το περιεχόμενο του μαθήματος είναι:
- Διανυσματικός Λογισμός του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου (διανύσματα, εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο, εφαρμογές).
- Αναλυτική Γεωμετρία του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου (καμπύλες και επιφάνειες, επίπεδο, κυλινδρικές επιφάνειες και επιφάνειες εκ περιστροφής, τετραγωνικές επιφάνειες, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες).
- Γραμμική Άλγεβρα του Ευκλείδειου χώρου (αλγεβρική δομή, πίνακες και γραμμικοί μετασχηματισμοί).
- Η Τοπολογία του Ευκλείδειου χώρου (ακολουθίες, ανοικτά, κλειστά, φραγμένα και συμπαγή σύνολα, σύνορο συνόλου).
- Σύγκλιση και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (όρια, συνέχεια, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων, πολυγωνικά συνεκτικά και παραμετρικά συνεκτικά σύνολα, τα θεμελιώδη θεωρήματα των συνεχών συναρτήσεων (θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης τιμής και θεώρημα ενδιάμεση τιμής), ομοιόμορφη συνέχεια).
- Διαφορίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (μερική παράγωγος, (ολική) παράγωγος, διαφορικό, εφαπτόμενο επίπεδο, γραμμικοποιήσεις, και προσεγγιστικοί υπολογισμοί (εκτιμήσεις σφαλμάτων), τα κύρια θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού, κανόνας αλυσίδας, θεωρήματα μέσης τιμής, αντίστροφης συνάρτησης, πεπλεγμένης συνάρτησης, μέγιστα και ελάχιστα, εφαρμογές).
- Διπλό και τριπλό ολοκλήρωμα (ορισμοί και ιδιότητες, υπολογισμοί εμβαδών και όγκων, τεχνικές ολοκλήρωσης, αλλαγή μεταβλητών (πολικός, κυλινδρικός και σφαιρικός μετασχηματισμός), εφαρμογές.
- Επικαμπύλια ολοκληρώματα (παραμετρήσεις και παραμετρικές καμπύλες, μήκος παραμετρικής καμπύλης, ορισμοί και ιδιότητες επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων, υπολογισμοί επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων, συνθήκες ανεξαρτησίας, εφαρμογές).
- Επιφανειακά ολοκληρώματα (διπαραμετρήσεις και παραμετρικές επιφάνειες, εμβαδόν (παραμετρικής) επιφανείας, ορισμοί και ιδιότητες επιφανειακών ολοκληρωμάτων, υπολογισμοί, εφαρμογές).
- Διανυσματική Ανάλυση (διαφορικοί τελεστές αριθμητικών και διανυσματικών πεδίων, τα κλασικά θεωρήματα ολοκλήρωσης (θεωρήματα Green, Stokes και Gauss (απόκλισης), εφαρμογές).
Το περιεχόμενο του μαθήματος είναι:
- Διανυσματικός Λογισμός του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου (διανύσματα, εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο, εφαρμογές).
- Αναλυτική Γεωμετρία του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου (καμπύλες και επιφάνειες, επίπεδο, κυλινδρικές επιφάνειες και επιφάνειες εκ περιστροφής, τετραγωνικές επιφάνειες, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες).
- Γραμμική Άλγεβρα του Ευκλείδειου χώρου (αλγεβρική δομή, πίνακες και γραμμικοί μετασχηματισμοί).
- Η Τοπολογία του Ευκλείδειου χώρου (ακολουθίες, ανοικτά, κλειστά, φραγμένα και συμπαγή σύνολα, σύνορο συνόλου).
- Σύγκλιση και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (όρια, συνέχεια, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων, πολυγωνικά συνεκτικά και παραμετρικά συνεκτικά σύνολα, τα θεμελιώδη θεωρήματα των συνεχών συναρτήσεων (θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης τιμής και θεώρημα ενδιάμεση τιμής), ομοιόμορφη συνέχεια).
- Διαφορίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (μερική παράγωγος, (ολική) παράγωγος, διαφορικό, εφαπτόμενο επίπεδ
Το περιεχόμενο του μαθήματος είναι:
- Διανυσματικός Λογισμός του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου (διανύσματα, εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο, εφαρμογές).
- Αναλυτική Γεωμετρία του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου (καμπύλες και επιφάνειες, επίπεδο, κυλινδρικές επιφάνειες και επιφάνειες εκ περιστροφής, τετραγωνικές επιφάνειες, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες).
- Γραμμική Άλγεβρα του Ευκλείδειου χώρου (αλγεβρική δομή, πίνακες και γραμμικοί μετασχηματισμοί).
- Η Τοπολογία του Ευκλείδειου χώρου (ακολουθίες, ανοικτά, κλειστά, φραγμένα και συμπαγή σύνολα, σύνορο συνόλου).
- Σύγκλιση και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (όρια, συνέχεια, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων, πολυγωνικά συνεκτικά και παραμετρικά συνεκτικά σύνολα, τα θεμελιώδη θεωρήματα των συνεχών συναρτήσεων (θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης τιμής και θεώρημα ενδιάμεση τιμής), ομοιόμορφη συνέχεια).
- Διαφορίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (μερική παράγωγος, (ολική) παράγωγος, διαφορικό, εφαπτόμενο επίπεδ
Περίγραμμα
Περιεχόμενο μαθήματος
Ενότητα Ι - Ο Ευκλείδειος Χώρος Rn
- Το εσωτερικό γινόμενο
- Ακολουθίες
- Ανοικτά και κλειστά σύνολα
- Όρια συναρτήσεων
- Συνεχείς συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
- Συμπάγεια και ομοιόμορφη συνέχεια
- Συνεκτικά σύνολα
- Το εξωτερικό γινόμενο στον R3
Ενότητα ΙΙ - Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών
- Διαφόριση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών
- Κανόνες παραγώγισης
- Ο κανόνας της αλυσίδας
- Το θεώρημα μέσης τιμής
- Πολλαπλές μερικές παράγωγοι
- Καμπύλες στον Rn
- Κλίση και επιφάνειες στάθμης μιας συνάρτησης
- Το θεώρημα Taylor (μια μεταβλητή)
- Το θεώρημα Taylor στις πολλές μεταβλητές
- Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων
- Το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης
- Το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων
- Ακρότατα υπό συνθήκη και πολλαπλασιαστές Lagrange
Ενότητα III - Ολοκληρωτικός Λογισμός πολλών μεταβλητών
- Βασικές έννοιες στη μια μεταβλητή
- Ολοκλήρωση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών
- Σύνολα μέτρου μηδέν και ο χαρακτηρισμός του Lebesgue των Riemann ολοκληρωσίμων συναρτήσεων
- Υπολογισμός διπλών ολοκληρωμάτων με διαδοχική ολοκλήρωση
- Το θεώρημα μέσης τιμής για πολλαπλά ολοκληρώματα
- Υπολογισμός τριπλών ολοκληρωμάτων με διαδοχική ολοκλήρωση
- Το θεώρημα αλλαγής μεταβλητής και οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων
- Αλλαγή μεταβλητής στο διπλό ολοκλήρωμα
- Αλλαγή μεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωμα
- Επικαμπύλια ολοκληρώματα
- Διανυσματικά πεδία
- Απόκλιση και στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου
- Το θεώρημα του Green
- Παραδείγματα και εφαρμογές
Διδάσκοντες
Σοφοκλής Μερκουράκης
Θέση: Καθηγητής
Ερευνητικά Ενδιαφέροντα: Χώροι Banach, Θεωρία Μέτρου, Γενική Τοπολογία, Uniform Distribution of Sequences
Ομάδα στόχος
Προπτυχιακοί φοιτητές του τμήματος Μαθηματικών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών.
Προαπαιτούμενα
Απειροστικός Λογισμός I
Απειροστικός Λογισμός II
Βιβλιογραφία
- T. Apostol, Mathematical Analysis, Addison-Wesley, 1974.
- J. Duistermaat and J. Kolk, Multidimensional Real Analysis, Vols I, II, Cambridge University Press, 2004.
- J. Marsden and A. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Π.Ε.Κ. Ηράκλειο 2007.
- J. Marsden and M. Hoffman, Elementary Classical Analysis,(2nd ed.), Freeman and Company, 1993.
- W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
- M. Strauss, G. Bradley and K. Smith, Multivariable Calculus, ( 3 ed.), Prentice Hall, 2002.
- G. Thomas, M. Weir, J. Hass and F. Giordano, Thomas Calculus, (11th ed.), Pearson Addison Wesley, 2005.
- Λ. Τσίτσα, Εφαρμοσμένος Διανυσματικός Απειροστικός Λογισμός, Εκδόσεις Συμμετρία, 2002.
- Τ.Ε. Χατζηαφράτη, Απειροστικός Λογισμός σε Πολλές Μεταβλητές, Εκδόσεις Συμμετρία, 2009.
Σημειώματα Δικαιωμάτων Πνευματικής Ιδιοκτησίας
Για το υλικό του παρόντος μαθήματος ισχύουν τα ακόλουθα σημειώματα.
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου
Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.
Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις:
- Έκδοση διαθέσιμη εδώ.
Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σοφοκλής Μερκουράκης. Απειροστικός Λογισμός IIΙ. Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.uoa.gr/courses/MATH110/.
Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».
[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
- που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο
- που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο
- που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Διατήρηση Σημειωμάτων
- Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:
- το Σημείωμα Αναφοράς
- το Σημείωμα Αδειοδότησης
- τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
- το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)
μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Ενότητα Ι - Ο Ευκλείδειος Χώρος Rn
- Το εσωτερικό γινόμενο
- Ακολουθίες
- Ανοικτά και κλειστά σύνολα
- Όρια συναρτήσεων
- Συνεχείς συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
- Συμπάγεια και ομοιόμορφη συνέχεια
- Συνεκτικά σύνολα
- Το εξωτερικό γινόμενο στον R3
Ενότητα ΙΙ - Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών
- Διαφόριση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών
- Κανόνες παραγώγισης
- Ο κανόνας της αλυσίδας
- Το θεώρημα μέσης τιμής
- Πολλαπλές μερικές παράγωγοι
- Καμπύλες στον Rn
- Κλίση και επιφάνειες στάθμης μιας συνάρτησης
- Το θεώρημα Taylor (μια μεταβλητή)
- Το θεώρημα Taylor στις πολλές μεταβλητές
- Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων
- Το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης
- Το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων
- Ακρότατα υπό συνθήκη και πολλαπλασιαστές Lagrange
Ενότητα III - Ολοκληρωτικός Λογισμός πολλών μεταβλητών
- Βασικές έννοιες στη μια μεταβλητή
- Ολοκλήρωση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών
- Σύνολα μέτρου μηδέν και ο χαρακτηρισμός του Lebesgue των Riemann ολοκληρωσίμων συναρτήσεων
- Υπολογισμός διπλών ολοκληρωμάτων με διαδοχική ολοκλήρωση
- Το θεώρημα μέσης τιμής για πολλαπλά ολοκληρώματα
- Υπολογισμός τριπλών ολοκληρωμάτων με διαδοχική ολοκλήρωση
- Το θεώρημα αλλαγής μεταβλητής και οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων
- Αλλαγή μεταβλητής στο διπλό ολοκλήρωμα
- Αλλαγή μεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωμα
- Επικαμπύλια ολοκληρώματα
- Διανυσματικά πεδία
- Απόκλιση και στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου
- Το θεώρημα του Green
- Παραδείγματα και εφαρμογές
Σοφοκλής Μερκουράκης
Θέση: Καθηγητής
Ερευνητικά Ενδιαφέροντα: Χώροι Banach, Θεωρία Μέτρου, Γενική Τοπολογία, Uniform Distribution of Sequences
Προπτυχιακοί φοιτητές του τμήματος Μαθηματικών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών.
Απειροστικός Λογισμός I
Απειροστικός Λογισμός II
- T. Apostol, Mathematical Analysis, Addison-Wesley, 1974.
- J. Duistermaat and J. Kolk, Multidimensional Real Analysis, Vols I, II, Cambridge University Press, 2004.
- J. Marsden and A. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Π.Ε.Κ. Ηράκλειο 2007.
- J. Marsden and M. Hoffman, Elementary Classical Analysis,(2nd ed.), Freeman and Company, 1993.
- W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
- M. Strauss, G. Bradley and K. Smith, Multivariable Calculus, ( 3 ed.), Prentice Hall, 2002.
- G. Thomas, M. Weir, J. Hass and F. Giordano, Thomas Calculus, (11th ed.), Pearson Addison Wesley, 2005.
- Λ. Τσίτσα, Εφαρμοσμένος Διανυσματικός Απειροστικός Λογισμός, Εκδόσεις Συμμετρία, 2002.
- Τ.Ε. Χατζηαφράτη, Απειροστικός Λογισμός σε Πολλές Μεταβλητές, Εκδόσεις Συμμετρία, 2009.
Για το υλικό του παρόντος μαθήματος ισχύουν τα ακόλουθα σημειώματα.
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου
Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.
Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις:
- Έκδοση διαθέσιμη εδώ.
Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σοφοκλής Μερκουράκης. Απειροστικός Λογισμός IIΙ. Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.uoa.gr/courses/MATH110/.
Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».
[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
- που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο
- που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο
- που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Διατήρηση Σημειωμάτων
- Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:
- το Σημείωμα Αναφοράς
- το Σημείωμα Αδειοδότησης
- τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
- το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)
μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
- Το εσωτερικό γινόμενο
- Ακολουθίες
- Ανοικτά και κλειστά σύνολα
- Όρια συναρτήσεων
- Συνεχείς συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
- Συμπάγεια και ομοιόμορφη συνέχεια
- Συνεκτικά σύνολα
- Το εξωτερικό γινόμενο στον R3
Λέξεις Κλειδιά: ευκλείδειος χώρος, εσωτερικό γινόμενο, εξωτερικό γινόμενο, ακολουθίες Rn, ανοικτά σύνολα, κλειστά σύνολα, όρια συναρτήσεων, συνεχείς συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, συμπάγεια, ομοιόμορφη συνέχεια, συνεκτικά σύνολα
- Διαφόριση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών
- Κανόνες παραγώγισης
- Ο κανόνας της αλυσίδας
- Το θεώρημα μέσης τιμής
- Πολλαπλές μερικές παράγωγοι
- Καμπύλες στον Rn
- Κλίση και επιφάνειες στάθμης μιας συνάρτησης
- Το θεώρημα Taylor ( μια μεταβλητή )
- Το θεώρημα Taylor στις πολλές μεταβλητές
- Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων
- Το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης
- Το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων
- Ακρότατα υπό συνθήκη και πολλαπλασιαστές Lagrange
Λέξεις Κλειδιά: διαφορικός λογισμός, διαφόριση συναρτήσεων, κανόνες παραγώγισης, μερική παράγωγος, κανόνας της αλυσίδας, θεώρημα μέσης τιμής, πολλαπλές μερικές παράγωγοι, καμπύλες στον Rn, επιφάνεια στάθμης, θεώρημα Taylor, ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων, θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης, θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων, πολλαπλασιαστές Lagrange
- Βασικές έννοιες στη μια μεταβλητή
- Ολοκλήρωση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών
- Σύνολα μέτρου μηδέν και ο χαρακτηρισμός του Lebesgue των Riemann ολοκληρωσίμων συναρτήσεων
- Υπολογισμός διπλών ολοκληρωμάτων με διαδοχική ολοκλήρωση
- Το θεώρημα μέσης τιμής για πολλαπλά ολοκληρώματα
- Υπολογισμός τριπλών ολοκληρωμάτων με διαδοχική ολοκλήρωση
- Το θεώρημα αλλαγής μεταβλητής και οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων
- Αλλαγή μεταβλητής στο διπλό ολοκλήρωμα
- Αλλαγή μεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωμα
- Επικαμπύλια ολοκληρώματα
- Διανυσματικά πεδία
- Απόκλιση και στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου
- Το θεώρημα του Green
- Παραδείγματα και εφαρμογές
Λέξεις Κλειδιά: διπλό ολοκλήρωμα, τριπλό ολοκλήρωμα, τεχνικές ολοκλήρωσης, θεώρημα αλλαγής μεταβλητής, πολικός μετασχηματισμός, κυλινδρικός μετασχηματισμός, σφαιρικός μετασχηματισμός, χαρακτηρισμός του Lebesgue, επικαμπύλια ολοκληρώματα, παραμετρικές καμπύλες, διανυσματικά πεδία, θεώρημα του Green, στροβιλισμός διανυσματικού πεδιόυ
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 0
Αρ. Προβολών : 0
Ημερολόγιο
Ανακοινώσεις
- - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -
