Σήματα και Συστήματα

Σκοπός του Κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητές τους. Επίσης στο κεφάλαιο αυτό θα οριστούν αντιπροσωπευτικά σήματα, τα οποία έχουν ιδιαίτερη σημασία στη θεωρία σημάτων.

Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σύστημα, να κατατάξει τα συστήματα ανάλογα με τον αριθμό και το είδος των επιτρεπομένων εισόδων και εξόδων και να περιγράψει τις βασικές ιδιότητές τους. Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η μέθοδος προσδιορισμού της εξόδου ενός συστήματος, όταν γνωρίζουμε την είσοδο του όπως, επίσης, και την έξοδό του όταν η είσοδός του διεγείρεται από τη συνάρτηση δέλτα. Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι για μια ειδική κατηγορία συστημάτων, αν η είσοδος είναι το μιγαδικό εκθετικό σήμα συχνότητας , τότε και η αντίστοιχη έξοδος είναι επίσης ένα μιγαδικό εκθετικό σήμα με την ίδια συχνότητα, το πλάτος και η φάση του οποίου έχουν υποστεί μια αλλαγή που προκαλεί το σύστημα. Τέλος, θα εφαρμόσουμε τα παραπάνω σε απλά μηχανικά και ηλεκτρικά συστήματα.

Ένα από τα κύρια ζητούμενα στην πράξη είναι να προσδιορίσουμε την έξοδο ενός συστήματος, όταν αυτό διεγείρεται από ένα σήμα. Στο προηγούμενο κεφάλαιο, είδαμε ότι η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος όταν αυτό διεγείρεται από σήματα απλής συχνότητας, περιέχει τις ίδιες συχνότητες με το σήμα εισόδου, με διαφορετικό όμως μέτρο και φάση. Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε μαθηματικά εργαλεία, τα οποία μας επιτρέπουν να αναλύουμε ένα σύνθετο σήμα σε σήματα απλών συχνοτήτων. Μια τέτοια προσέγγιση μας διευκολύνει ώστε να υπολογίσουμε την έξοδο ενός συστήματος, το οποίο διεγείρεται από ένα σύνθετο σήμα, με τη βοήθεια των αποκρίσεων του συστήματος στις επιμέρους συνιστώσες των απλών συχνοτήτων. Στη συνέχεια θα εφαρμόσουμε τις μεθόδους αυτές ώστε να αναλύσουμε έναν αριθμό σημάτων, τα οποία συναντάμε συχνά στη πράξη.

Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι υπολογισμού του αντιστρόφου ΜF, τρόποι οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι αν η μορφή του ΜF δεν είναι απλή, οπότε ο απευθείας υπολογισμός του αντιστρόφου με την εξίσωση σύνθεσης γίνεται μια δύσκολη διαδικασία. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί μια εύκολη μέθοδος εύρεσης της απόκρισης συχνότητας, της κρουστικής απόκρισης και της εξόδου ενός συστήματος, του οποίου γνωρίζουμε τη διαφορική εξίσωση που συσχετίζει τα σήματα εισόδου - εξόδου του συστήματος.

Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό Laplace, ή απλά μετασχηματισμό Laplace (ΜL) και τον μονόπλευρο μετασχηματισμό Laplace (ΜΜL), να περιγράψει τις βασικές τους ιδιότητες και να υπολογίσει τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς στοιχειωδών σημάτων, που αντιμετωπίζουμε στη μελέτη γραμμικών συστημάτων. Επίσης, στο Κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστεί η δυνατότητα που έχει ο ΜΜL να επιλύει διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες έχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες και στη συνέχεια θα εκμεταλλευτούμε τη δυνατότητα αυτή για τη μελέτη ΓΧΑ συστημάτων. Τέλος, σκοπός του Κεφαλαίου είναι να αναδείξει τη σχέση που υπάρχει μεταξύ της αιτιότητας, της ευστάθειας ενός ΓΧΑ συστήματος, του πεδίου σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του και της θέσης των πόλων αυτής στο μιγαδικό επίπεδο όπου ορίζεται ο μετασχηματισμός Laplace.