Άλγεβρα

Εισαγωγή μαθήματος, απόδειξη του θεωρήματος για τις ακέραιες λύσεις εξισώσεων με δύο αγνώστους, εφαρμογές και παραδείγματα. Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος.

Το θεώρημα του Dirichlet για τις αριθμητικές προόδους, οι πυθαγόρειες τριάδες και μία γεωμετρική ερμηνεία τους. Εφαρμογές της θεωρίας αριθμών στην κρυπτογραφία.

Μελέτη και επίλυση συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων μίας μεταβλητής. Η έννοια του ιδεώδους – ορισμός και ιδιότητες.

Μελέτη και επίλυση πολυωνύμων μίας μεταβλητής τρίτου βαθμού.

Μελέτη και επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων τρίτου βαθμού, μίας μεταβλητής. Η μέθοδος Cardano.

Μελέτη και επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων τρίτου βαθμού, μίας μεταβλητής.

Μελέτη και επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων τετάρτου βαθμού, μίας μεταβλητής.

Ρητοποίηση παρονομαστή, αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί, ιδεώδη και ελάχιστα πολυώνυμα.

Επίλυση ασκήσεων στα πολυώνυμα με ρητούς συντελεστές. Σώμα ριζών ενός πολυωνύμου.

Επίλυση ασκήσεων στα πολυώνυμα με ρητούς συντελεστές. Σώμα ριζών ενός πολυωνύμου.

Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη, χάραξη ευθείας, χάραξη περιφέρειας κύκλου, επισύναψη σημείου.Η έννοια του κατασκευάσιμου σημείου.

Προτάσεις και θεωρήματα για τα κατασκευάσιμα σημεία. Τριχοτόμηση γωνίας.

Εφαρμογή της θεωρίας πολυωνύμων στις κατασκευές με κανόνα και διαβήτη.

Μελέτη και μεθοδολογία επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων τετάρτου βαθμού, μίας μεταβλητής.

Μελέτη και μεθοδολογία επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων τρίτου βαθμού, μίας μεταβλητής.

Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και συμμετρίες ενός ισόπλευρου τριγώνου. Η διεδρική ομάδα D3. Η ομάδα συμμετριών ενός τετραέδρου.

Η ομάδα Galois των αυτομορφισμών ενός σώματος ριζών. Οι αυτομορφισμοί των ρητών και των πραγματικών αριθμών.

Επίλυση ασκήσεων στις ομάδες Galois. Ο ισομορφισμός μεταξύ πινάκων και μιγαδικών αριθμών.

Ομάδες μεταθέσεων και ισομορφισμοί ομάδων.

Ισομορφισμοί ομάδων Galois με ομάδες μεταθέσεων.

Η έννοια της ισομετρίας, ορισμός και παραδείγματα. Ισομετρίες στο σύνολο των πραγματικών και στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

Ισομετρίες στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Η ομάδα των ισομετριών στους μιγαδικούς αριθμούς.

Οι έννοιες της υποομάδας και του συμπλόκου. Κανονικές υποομάδες και ομάδες πηλίκο. Το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois.

Τα θεωρήματα Sylow για τις πεπερασμένες ομάδες. P-υποομάδες Sylow.

Εφαρμογές των θεωρημάτων Sylow στη συμμετρική ομάδα S3 και στη διεδρική ομάδα D3.

Ανασκόπηση των εννοιών που σχετίζονται με τις ομάδες. Το θεώρημα Lagrange για τις πεπερασμένες ομάδες.

Κατάταξη των ομάδων σύμφωνα με την τάξη τους. Ισομορφισμοί πεπερασμένων ομάδων με την ομάδα των πινάκων και την ομάδα μεταθέσεων.

Κατάταξη των ομάδων σύμφωνα με την τάξη τους.

Μεθοδολογία απόδειξης ενός συμπεράσματος από μία σειρά υποθέσεων που εκφράζονται ως πολυωνυμικές σχέσεις. Η έννοια της βάσης Groebner.

Εύρεση βάσης Groebner με χρήση λογισμικού και με μετασχηματισμό πινάκων. Ο αλγόριθμος της διαίρεσης για πολυώνυμα πολλών μεταβλητών.

Μεθοδολογία απόδειξης ενός συμπεράσματος από μία σειρά υποθέσεων που εκφράζονται ως πολυωνυμικές σχέσεις. Η έννοια της βάσης Groebner.

Εύρεση βάσης Groebner με χρήση λογισμικού και με μετασχηματισμό πινάκων. Ο αλγόριθμος της διαίρεσης για πολυώνυμα πολλών μεταβλητών.

Η θεμελιώδης ιδιότητα των βάσεων Groebner. Αλγοριθμική επίλυση προβλημάτων.