Μαθηματική Λογική

Εισαγωγή – Βασικές αναφορές σε περιόδους της Λογικής – Η Λογική στην ιστορική περίοδο της αρχαιότητας

Η θεωρία συλλογισμού του Αριστοτέλη. Η διάκριση σε αποδεικτικό και διαλεκτικό συλλογισμό.

Η θεωρία νοήματος και αλήθειας των Στωικών. Η θεωρία λεκτών. Το σύστημα φυσικής παραγωγής.

Η Περιπατητική Λογική του Αριστοτέλη. Σημ : Η διάλεξη πραγματοποιήθηκε προς το τέλος των μαθημάτων και προϋποθέτει κάποιες γνώσεις που παρουσιάστηκαν σε προηγούμενες διαλέξεις.

Οι αναπόδεικτοι τρόποι των Στωικών.

Τα συλλογιστικά σχήματα του Αριστοτέλη.

Το Αξιωματικό σύστημα, η διαδικασία της απόδειξης κατά την αρχαιότητα, το παράδειγμα αξιωματικού συστήματος του Ευκλείδη, η μέθοδος της διαίρεσης του Πλάτωνα, το δικαστικό παράδοξο του Πρωταγόρα, εισαγωγή στη χρήση συμβόλων της Λογικής.

Το τετράγωνο της αντίθεσης του Αριστοτέλη. Σημ : Η διάλεξη πραγματοποιήθηκε προς το τέλος των μαθημάτων και προϋποθέτει κάποιες γνώσεις που παρουσιάστηκαν σε προηγούμενες διαλέξεις.

Επίλυση ασκήσεων στην Κατηγορηματική Λογική.

Παραδείγματα εφαρμογής των αξιωματικών σχημάτων της Κατηγορηματικής Λογικής για την απόδειξη τυπικών θεωρημάτων.

Αναδρομικός ορισμός της αντικαταστάσιμης μεταβλητής. Ένα παράδειγμα στο οποίο δεν ισχύει η αντικαστασιμότητα μεταβλητής. Τα βασικά θεωρήματα της Κατηγορηματικής Λογικής. Παραδείγματα εφαρμογής.

Αξιωματικά σχήματα της Κατηγορηματικής Λογικής.

Ανασκόπηση των αξιωματικών σχημάτων του Κατηγορηματικού Λογισμού. Η έννοια της αντικαταστασιμότητας μίας μεταβλητής στον Κατηγορηματικό Λογισμό.

Χρήση αξιωμάτων και αποδεικτικών κανόνων για την κατασκευή ενός συστήματος που είναι πλήρες και έγκυρο. Διάκριση των αξιωμάτων σε λογικά και σε μη λογικά. Επέκταση των αξιωμάτων του Προτασιακού λογισμού με λογικά αξιώματα που αφορούν τους ποσοδείκτες και την ισότητα.

Το θεώρημα υπαρξιακής σταθεροποίησης της Κατηγορηματικής Λογικής. Παρουσιασή της στρατηγικής για τη διαδικασία απόδειξης της τυπικής συνεπαγωγής ενός τύπου από ένα σύνολο υποθέσεων.

Τα θεωρήματα εγκυρότητας και πληρότητας του Κατηγορηματικού Λογισμού. Το θεώρημα μη πληρότητας του Gödel για την πρωτοβάθμια γλώσσα της Αριθμητικής.

Το θεώρημα μη πληρότητας του Gödel για την πρωτοβάθμια γλώσσα της Αριθμητικής.

Κανονές απαλοιφής των παρενθέσεων σε Προτασιακούς τύπους, πίνακες αλήθειας των συνδέσμων, παράδειγμα εύρεσης πίνακα αλήθειας ενός Προτασιακού τύπου.

Τυπική γλώσσα της Προτασιακής Λογικής, η έννοια του Προτασιακού τύπου, η αρχής της Επαγωγής για το σύνολο των Προτασιακών τύπων.

Παραδείγματα αποδείξεων Λογικής Συνεπαγωγής και Λογικής Ισοδυναμίας, η αρχή της αντικατάστασης, παράδειγμα απλοποίησης ενός Προτασιακού τύπου.

Η ιδιότητα της μοναδικής αναγνωσιμότητας Προτασιακών τύπων, η έννοια της Λογικής Συνεπαγωγής, παραδείγματα Λογικής Συνεπαγωγής, το θεώρημα “εις άτοπον απαγωγής”, το θεώρημα Συμπάγειας, οι νόμοι της Προτασιακής Λογικής.

Παραδείγματα απλοποίησης Προτασιακών τύπων, οι νόμοι απορρόφησης για Προτασιακούς τύπους, η έννοια της πληρότητας συνόλων συνδέσμων.

Παραδείγματα επαρκών και μη επαρκών συνόλων συνδέσμων, κριτήριο ανεπάρκειας ενός συνόλου συνδέσμων.

Η έννοια της πληρότητας (ή επάρκειας) συνόλων συνδέσμων, το θεώρημα κανονικής διαζευτικής μορφής, παραδείγματα.

Η έννοια της τυπικής απόδειξης, το θεώρημα παραγωγής του Προτασιακού λογισμού, ένα πόρισμα του θεωρήματος παραγωγής.

Παραδείγματα κατασκευής τυπικών αποδείξεων με χρήση των αξιωματικών σχημάτων και του κανόνα modus ponens.

Τα αξιωματικά σχήματα και ο αποδεικτικός κανόνας του Προτασιακού λογισμού.

Επίλυση ασκήσεων στην Προτασιακή Λογική

Επίλυση ασκήσεων στην Προτασιακή Λογική

Απόδειξη του θεωρήματος αντιθετοαναστροφής, ορισμός της συνέπειας ενός συνόλου προτασιακών τύπων, το θεώρημα της “εις άτοπον απαγωγής”, τα θεωρήματα εγκυρότητας και πληρότητας της Προτασιακής λογικής.

Τα δομικά στοιχεία μίας πρωτοβάθμιας γλώσσας της Κατηγορηματικής Λογικής, κατασκευή τύπων της Κατηγορηματικής Λογικής, η έννοια της δομής για πρωτοβάθμια γλώσσα, η δομή για την πρωτοβάθμια γλώσσα της Αριθμητικής.

O ορισμός αλήθειας του Tarski, παράδειγμα εφαρμογής στη δομή για την Πρωτοβάθμια γλώσσα της Αριθμητικής.

Η δομή για την Πρωτοβάθμια γλώσσα της Αριθμητικής, το παράδειγμα των αρνητικών ακεραίων, ο ορισμός αλήθειας του Tarski, η διαφορά μεταξύ ελεύθερης και δεσμευμένης μεταβλητής.

Παραδείγματα εφαρμογής του ορισμού αλήθειας του Tarski.

Παραδείγματα εφαρμογής του ορισμού αλήθειας του Tarski.

Παραδείγματα εφαρμογής του ορισμού αλήθειας του Tarski

Παρουσίαση και περιγραφική απόδειξη του θεωρήματος κανονικής ποσοδεικτικής μορφής της Κατηγορηματικής Λογικής.

Περιγραφική απόδειξη και εφαρμογή του θεωρήματος κανονικής ποσοδεικτικής μορφής της Κατηγορηματικής Λογικής.