Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

1. Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες
   1. Υπακολουθίες
   2. Θεώρημα Bolzano-Weierstrass
   3. Ανώτερο και κατώτερο όριο ακολουθίας
   4. Ακολουθίες Cauchy
   5. *Παράρτημα: συζήτηση για το αξίωμα της πληρότητας
   6. Ασκήσεις
2. Σειρές πραγματικών αριθμών
   1. Σύγκλιση σειράς
   2. Σειρές με μη αρνητικούς όρους
   3. Γενικά κριτήρια
   4. Δυναμοσειρές
   5. Ασκήσεις
3. Ομοιόμορφη συνέχεια
   1. Ομοιόμορφη συνέχεια
   2. Χαρακτηρισμός της ομοιόμορφης συνέχειας μέσω ακολουθιών
   3. Συνεχείς συναρτήσεις σε κλειστά διαστήματα
   4. Συστολές - θεώρημα σταθερού σημείου
   5. Ασκήσεις
4. Ολοκλήρωμα Riemann
   1. Ο ορισμός του Darboux
   2. Το κριτήριο ολοκληρωσιμότητας του Riemann
   3. Δύο κλάσεις Riemann ολοκληρώσιμων συναρτήσεων
   4. Ιδιότητες του ολοκληρώματος Riemann
   5. Ο ορισμός του Riemann*
   6. Ασκήσεις
5. Το θεμελιώδες θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού
   1. Το θεώρημα μέσης του Ολοκληρωτικού Λογισμού
   2. Τα θεμελιώδη θεωρήματα του Απειροστικού Λογισμού
   3. Μέθοδοι ολοκλήρωσης
   4. Γενικευμένα ολοκληρώματα
   5. Ασκήσεις
6. Τεχνικές Ολοκλήρωσης
   1. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση
   2. Ολοκλήρωση κατά μέρη
   3. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων
   4. Κάποιες χρήσιμες αντικαταστάσεις
   5. Ασκήσεις
7. Θεώρημα Taylor
   1. Θεώρημα Taylor
   2. Δυναμοσειρές και αναπτύγματα Taylor
   3. Συναρτήσεις παραστάσιμες σε δυναμοσειρά
   4. Ασκήσεις
8. Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις
   1. Ορισμός
   2. Κυρτές συναρτήσεις ορισμένες σε ανοικτό διάστημα
   3. Παραγωγίσιμες κυρτές συναρτήσεις
   4. Ανισότητα του Jensen
   5. Ασκήσεις

Γιαννόπουλος Απόστολος

Θέση : Καθηγητής
Ερευνητικά Ενδιαφέροντα : Κυρτή Γεωμετρική Ανάλυση, Συναρτησιακή Ανάλυση, Πιθανοθεωρητικές Μέθοδοι
E-mail : apgiannop@math.uoa.gr

Curriculum Vitae

Απειροστικός Λογισμός I

Προπτυχιακοί φοιτητές του τμήματος Μαθηματικών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών.

Εξοικίωση με τις ακολουθίες, τις υπακολουθιές, τα σημεία σώρρευσης, τα άνω και κάτω όρια.

Μελέτη σειρών πραγματικών αριθμών της σύγκλισης τους και των κριτηρίων που την εξασφαλίζουν.  

Έλεγχος ύπαρξης μέγιστης και ελάχιστης τιμής για συνεχείς συναρτήσεις, ορισμός και μελέτη της ομοιόμορφης συνέχειας με χρήση ακολουθιών.

Μελέτη του ολοκληρώματος Riemann, ορισμός του σε φραγμένες συναρτήσεις. Κριτήριο Riemann, ολοκληρωσιμότητα συνεχών και μονότονων συναρτήσεων.

Μελέτη θεωρήματος Taylor και δυναμοσειρών.

Θα πραγματοποιηθεί μια ενδιάμεση εξέταση η οποία θα βαθμολογηθεί με ένα βαθμό E από 0 έως 10. Μετά το τέλος των μαθημάτων θα πραγματοποιηθεί η τελική εξέταση σε όλη την ύλη, η οποία θα βαθμολογηθεί με ένα βαθμό T από 0 έως 10. Αν S = (30 x E + 70 x T)/100, ο τελικός βαθμός του μαθήματος θα είναι ο μεγαλύτερος μεταξύ των T και S.

1.  Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Ε. Γιαννακούλιας: Απειρόστικός Λογισμός I και IIα, εκδόσεις Συμμετρία.
2. M. Spivak: Calculus, Benjamin (κυκλοφορεί και σε Ελληνική μετάφραση με τίτλο: "Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός" από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης).
3. Λ. Τσίτσας: Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός, εκδόσεις Συμμετρία.
4. R. Courant and F. John: Introduction to Calculus and Analysis, Vol. I, Interscience.
5. G. H. Hardy: A Course in Pure Mathematics, Cambridge University Press.
6. R. Bartle and D. Sherbert: Introduction to Real Analysis, John Wiley.

Για το υλικό του παρόντος μαθήματος ισχύουν τα ακόλουθα σημειώματα.

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου

Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. 

Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις:

• Έκδοση διαθέσιμη εδώ.

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Απόστολος Γιαννόπουλος. Απειροστικός Λογισμός II. Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.uoa.gr/courses/MATH3/.

Σημείωμα Αδειοδότησης

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση.   Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π.,  τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:

• που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο
• που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο
• που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων

• Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:
• το Σημείωμα Αναφοράς
• το Σημείωμα Αδειοδότησης
• τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
• το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.