Παρουσίαση/Προβολή

Επιλέχθηκε εικόνα

Αρμονική Ανάλυση

(MATH121) -  Απόστολος Γιαννόπουλος

Περιγραφή Μαθήματος

To μεταπτυχιακό μάθημα “Αρμονική Ανάλυση” προσφέρεται ως μάθημα επιλογής στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα “Θεωρητικά Μαθηματικά”.

Στις πρώτες τρεις ενότητες του μαθήματος παρουσιάζονται οι έννοιες του μέτρου και του ολοκληρώματος Lebesgue, καθώς και μία σύγκριση μεταξύ του ολοκληρώματος Riemann με το ολοκλήρωμα Lebesgue. 

Στην τέταρτη ενότητα παρουσιάζονται οι χώροι Lp, τα θεωρήματα Riesz-Fischer και Fubini, καθώς και η έννοια της συνέλιξης.

Στην πέμπτη ενότητα μελετώνται οι σειρές Fourier ολοκληρώσιμων και συνεχών συναρτήσεων και τα τριγωνομετρικά πολυώνυμα ενώ παρουσιάζονται ακόμη ο πυρήνας του Dirichlet και τα θεωρήματα των Dini και Marcinkiewicz.

Στην έκτη ενότητα παρουσιάζονται οι έννοιες της οικογένειας καλών πυρήνων και των προσεγγίσεων της μονάδας και μελετώνται η αθροισιμότητα κατά Cesàro και κατά Abel καθώς και οι πυρήνες Fejér και Poisson.

Στην έβδομη ενότητα είσαγεται η έννοια του χώρου Hilbert και μελετάται η L2-σύγκλιση σειρών Fourier στο χώρο L2(T).

Στην όγδοη ενότητα παρουσιάζεται ο μετασχηματισμός Fourier.

Στην ένατη και στη δέκατη ενότητα μελετώνται η Lp-σύγκλιση και ο μετασχηματισμός Hilbert στο χώρο Lp(T), αντίστοιχα.

Τέλος, στην ενδέκατη ενότητα παρουσιάζεται το θεώρημα παρεμβολής του Riesz καθώς και η ανισότητα των Hausdorff-Young.

 

Ημερομηνία δημιουργίας

Τρίτη 21 Ιουλίου 2015

Σελίδα μαθήματος

  • Περίγραμμα

    Διδάσκοντες

    Απόστολος Γιαννόπουλος

    Θέση : Καθηγητής
    Ερευνητικά Ενδιαφέροντα : Κυρτή Γεωμετρική Ανάλυση, Συναρτησιακή Ανάλυση, Πιθανοθεωρητικές Μέθοδοι
    E-mail : apgiannop@math.uoa.gr

    Curriculum Vitae

    Περιεχόμενο μαθήματος

    • Μέτρο Lebesgue
    • Ολοκλήρωμα Lebesgue
    • Ολοκλήρωμα Riemann και ολοκλήρωμα Lebesgue
    • Χώροι Lp
    • Σειρές Fourier
    • Προσεγγίσεις της μονάδας και αθροισιμότητα
    • L2 σύγκλιση σειρών Fourier
    • Μετασχηματισμός Fourier
    • Lp-σύγκλιση
    • Ο μετασχηματισμός Hilbert στον Lp(T)
    • Το θεώρημα παρεμβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young

    Βιβλιογραφία

    • Helson, Henry . Harmonic analysis. Second edition. Texts and Readings in Mathematics, 7. Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010.
    • Folland, Gerald B. Real analysis. Modern techniques and their applications. Second edition. Pure and Applied Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.
    • Katznelson, Yitzhak. An introduction to harmonic analysis. 3rd edition. Cambridge University Press, 2004.
    • Rudin, Walter. Functional analysis. 2nd edition. McGraw-Hill, 1991.
    • Rudin, W. Real and complex analysis. 3rd edition. McGraw-Hill, 1987.
    • Stein, Elias M. ; Shakarchi, Rami . Fourier analysis. An introduction. Princeton Lectures in Analysis, 1. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.
    • Dym, H. ; McKean, H. P. Fourier series and integrals. Probability and Mathematical Statistics, No. 14. Academic Press, New York-London, 1972.

    Μαθησιακοί στόχοι

    • Η μελέτη βασικών εννοιών της θεωρίας Μέτρου για τη διαδικασία ολοκλήρωσης κατά Lebesgue
    • Η μέλετη των σειρών Fourier και της σύγκλισης των σειρών Fourier
    • Η παρουσίαση στοιχείων της Συναρτησιακής Ανάλυσης που βοηθούν στη μελέτη των σειρών Fourier

    Ομάδα στόχος

    Μεταπτυχιακοί φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών, ενδιαφερόμενοι για τη θεματική περιοχή “Μαθηματική Ανάλυση”.

    Προαπαιτούμενα

    • Πραγματική Ανάλυση
    • Στοιχειώδης Θεωρία Μέτρου