Παρουσίαση/Προβολή

Επιλέχθηκε εικόνα

Κυρτή Ανάλυση

(MATH107) -  Λεώνη Ευαγγελάτου-Δάλλα

Περιγραφή Μαθήματος

Το μάθημα παρουσιάζει βασικά αποτελέσματα της Κυρτής Γεωμετρικής Ανάλυσης. Τα αντικείμενα που θα μελετήσουμε είναι (κυρίως) κυρτά σώματα: συμπαγή και κυρτά υποσύνολα του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου, τα οποία έχουν μη κενό εσωτερικό.

Η κυρτότητα παίζει σημαντικό ρόλο σε πολλές περιοχές των Μαθηματικών: στη συναρτησιακή ανάλυση, στις μερικές διαφορικές εξισώσεις, στο γραμμικό προγραμματισμό, στη θεωρία πιθανοτήτων και τη θεωρία πληροφορίας, στη γεωμετρία των αριθμών. Δεύτερος στόχος του μαθήματος είναι να παρουσιάσει έναν όσο γίνεται μεγαλύτερο αριθμό από αυτές τις διασυνδέσεις. Ένας τρίτος στόχος του μαθήματος είναι να ενισχύσει τη διαίσθηση για τη μετρική και τον όγκο στις μεγάλες διαστάσεις.

  • Κυρτά σύνολα. Κυρτές, κοίλες συναρτήσεις.
  • Θεωρήματα Καραθεοδωρή, Helly, Radon. Εφαρμογές στη συνδυαστική γεωμετρία και τη θεωρία προσέγγισης.
  • Μετρική προβολή. Φέροντα υπερεπίπεδα. Διαχωριστικά θεωρήματα. Δυϊσμός. Συνάρτηση στήριξης.
  • Ακραία και εκτεθειμένα σημεία. Το θεώρημα των Minkowski-Krein-Milman. Εφαρμογές (πολύτοπο του Birkhoff, πολύτοπα μεταθέσεων, ανισότητες για ιδιοτιμές πινάκων).
  • Μετρική Hausdorff. Το θεώρημα επιλογής του Blaschke. Συμμετρικοποίηση κατά Steiner. Γεωμετρικές ανισότητες.
  • Όγκος στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Παράδοξα στις μεγάλες διαστάσεις.
  • Ανισότητα Brunn-Minkowski. Ισοπεριμετρικά προβλήματα.
  • Ειδικά θέματα (γεωμετρικές ανισότητες, γεωμετρία των αριθμών, χώροι πεπερασμένης διάστασης με νόρμα, ελλειψοειδή και αλγόριθμοι για τον υπολογισμό του όγκου, γεωμετρικές πιθανότητες).

 

Ημερομηνία δημιουργίας

Τρίτη 10 Μαρτίου 2015

Σελίδα μαθήματος

  • Περίγραμμα

    Περιεχόμενο μαθήματος

    • Κυρτά σύνολα. Κυρτές, κοίλες συναρτήσεις.
    • Θεωρήματα Καραθεοδωρή, Helly, Radon. Εφαρμογές στη συνδυαστική γεωμετρία και τη θεωρία προσέγγισης.
    • Μετρική προβολή. Φέροντα υπερεπίπεδα. Διαχωριστικά θεωρήματα. Δυϊσμός. Συνάρτηση στήριξης.
    • Ακραία και εκτεθειμένα σημεία. Το θεώρημα των Minkowski-Krein-Milman. Εφαρμογές (πολύτοπο του Birkhoff, πολύτοπα μεταθέσεων, ανισότητες για ιδιοτιμές πινάκων).
    • Μετρική Hausdorff. Το θεώρημα επιλογής του Blaschke. Συμμετρικοποίηση κατά Steiner. Γεωμετρικές ανισότητες.
    • Όγκος στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Παράδοξα στις μεγάλες διαστάσεις.
    • Ανισότητα Brunn-Minkowski. Ισοπεριμετρικά προβλήματα.
    • Ειδικά θέματα (γεωμετρικές ανισότητες, γεωμετρία των αριθμών, χώροι πεπερασμένης διάστασης με νόρμα, ελλειψοειδή και αλγόριθμοι για τον υπολογισμό του όγκου, γεωμετρικές πιθανότητες).

     

    Διδάσκοντες

    Λεώνη Ευαγγελάτου-Δάλλα

    Θέση: Αναπληρώτρια Καθηγήτρια

    Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Κυρτότητα, Fractals

    e-mail: ldalla@math.uoa.gr

    Τηλέφωνο: 210-7276375

    Fax: 210-7276378

    Γραφείο: 207

    Προσωπική ιστοσελίδα

    Μαθησιακοί στόχοι

    • Η παρουσίαση των βασικών αποτελεσμάτων της Κυρτής Γεωμετρικής Ανάλυσης.
    • Η παρουσίαση των περισσότερων διασυνδέσεων της έννοιας της κυρτότητας με άλλες περιοχές των Μαθηματικών.
    • Η ενίσχυση της διαίσθησης για τις έννοιες της μετρικής και του όγκου, στις μεγάλες διαστάσεις.

     

    Προαπαιτούμενα

    • Απειροστικός Λογισμός Ι,ΙΙ και ΙΙΙ
    • Γραμμική Άλγεβρα Ι και ΙΙ

     

    Ομάδα στόχος

    Προπτυχιακοί φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών, ενδιαφερόμενοι για τη θεματική περιοχή “Θεωρητικά Μαθηματικά – Μαθηματική Ανάλυση”.

     

    Προτεινόμενα συγγράμματα

    Απόστολος Γιαννόπουλος - “Σημειώσεις Κυρτής Ανάλυσης”, 2009.

     

    Βιβλιογραφία

    • K. Ball: An elementary introduction to modern convex geometry.
    • A. Barvinok: A course in convexity.
    • Υ. D. Burago and V. A. Zalgaller: Geometric Inequalities.
    • H. G. Eggleston: Convexity.
    • P. Gruber: Convex and Discrete Geometry.
    • D. A. Klain and G-C Rota: Introduction to geometric probability.
    • J. Matousek: Lectures on discrete geometry
    • V. D. Milman and G. Schechtman: Asymptotic theory of finite dimensional normed spaces.
    • R. Schneider: Convex bodies - the Brunn-Minkowski theory.
    • R. J. Webster: Convexity.