Μηχανική II
Αποστολάτος Θεοχάρης, Ιωάννου Πέτρος
Η Αναλυτική Μηχανική αποτέλεσε μια προσπάθεια των Φυσικών του 18ου αιώνα να «στηθεί» η Νευτώνεια Μηχανική σε μια τέτοια αλγοριθμική μορφή ώστε όλα τα προβλήματα της Μηχανικής να λύνονται εύκολα. Παράλληλα «πάντρεψε» τη Μηχανική με την πολύ παλιά αναζήτηση των επιστημόνων η ανάλυση των φαινομένων να είναι απόρροια μιας τελεολογικής αρχής περί βελτιστοποίησης του φυσικού κόσμου. Η τελευταία αυτή προσπάθεια για τα μηχανικά συστήματα όχι μόνο στέφθηκε με επιτυχία μέσω της διατύπωσης της αρχής ελάχιστης δράσης από τον Χάμιλτον αλλά άνοιξε και το δρόμο στη Φυσική για την προσέγγιση νέων φυσικών συστημάτων μέσω της ίδιας αυτής αρχής.
Το μάθημα αυτό εδράζεται κυρίως στη δεύτερη αυτή σκοπιά και δεν ακολουθεί τη συνήθη ιστορική διαδρομή.
Έτσι το μάθημα ξεκινά με τη διατύπωση της αρχής του Χάμιλτον και τη σχέση αυτής με τη Νευτώνεια μηχανική καθώς και την κβαντομηχανική μέσω των ολοκληρωμάτων διαδρομής. Ακολουθεί μια σύντομη εισαγωγή στο λογισμό μεταβολών και η εξαγωγή των εξισώσεων Euler-Lagrange. Αποδεικνύεται η αναλλοιότητα των εξισώσεων αυτών σε αλλαγές συντεταγμένων. Στη συνέχεια μελετάται η δυνατότητα Λαγκρανζιανής περιγραφής διαφόρων μηχανικών συστημάτων και ειδικότερα κατασκευάζεται η Λαγκρανζιανή φορτισμένου σωματιδίου μέσα σε τυχόν ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.
Τα περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς παρουσιάζονται ως μια ειδική περίπτωση
αλλαγής σε χρονοεξαρτώμενες συντεταγμένες και αντιπαραβάλλονται με τις αλληλεπιδράσεις των φορτισμένων σωματιδίων σε Η/Μ πεδίο.
Επίσης συζητάται η σχέση μεταξύ των συμμετριών της Λαγκρανζιανής και των διατηρούμενων ποσοτήτων (θεώρημα Noether).
Ακολουθεί η ανάλυση των μετασχηματισμών στροφής και παρουσιάζεται μια σύντομη εισαγωγή στην Ειδική Σχετικότητα ως απόρροια της αναλλοιότητας σε στροφές σε έναν ψευδοευκλείδειο μετρικό χώρο.
Στη συνέχεια γίνεται μια διεξοδική ανάλυση των μικρών ταλαντώσεων συστημάτων γύρω από κάποια θέση ισορροπίας και παρουσιάζονται οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης ενός συστήματος.
Το πέρασμα στη Χαμιλτονιανή θεώρηση παρουσιάζεται ως κάποιου είδους αφαίρεση στη μελέτη των φυσικών συστημάτων που προσεγγίζει την αριστοτέλεια μηχανική θεώρηση (πρωτοβάθμιες διαφορικές εξισώσεις του Χάμιλτον). Ο χώρος των φάσεων
μελετάται σε αντιδιαστολή με τον άμεσα αντιληπτό θεσεογραφικό χώρο και η εξέλιξη των φυσικών συστημάτων περιγράφεται ως η ροή κάποιου ασυμπίεστου ρευστού (θεώρημα Liouville). Η αφαίρεση ολοκληρώνεται πλήρως με τη μελέτη των κανονικών μετασχηματισμών όπου η εμπειρική συσχέτιση των θέσεων και των ορμών με αυτά που γνωρίζουμε από την Νευτώνεια Μηχανική εγκαταλείπεται οριστικά.
Οι αγκύλες Poisson ως προάγγελος της κβαντομηχανικής θεώρησης παρουσιάζονται ως δυναμικοί τελεστές που αναπαριστούν την εξέλιξη των μηχανικών συστημάτων.
Λιγότερα
Η Αναλυτική Μηχανική αποτέλεσε μια προσπάθεια των Φυσικών του 18ου αιώνα να «στηθεί» η Νευτώνεια Μηχανική σε μια τέτοια αλγοριθμική μορφή ώστε όλα τα προβλήματα της Μηχανικής να λύνονται εύκολα. Παράλληλα «πάντρεψε» τη Μηχανική με την πολύ παλιά αναζήτηση των επιστημόνων η ανάλυση των φαινομένων να είναι απόρροια μιας τελεολογικής αρχής περί βελτιστοποίησης του φυσικού κόσμου. Η τελευταία αυτή προσπάθεια για τα μηχανικά συστήματα όχι μόνο στέφθηκε με επιτυχία μέσω της διατύπωσης της αρχής ελάχιστης δράσης από τον Χάμιλτον αλλά άνοιξε και το δρόμο στη Φυσική για την προσέγγιση νέων φυσικών συστημάτων μέσω της ίδιας αυτής αρχής.
Το μάθημα αυτό εδράζεται κυρίως στη δεύτερη αυτή σκοπιά και δεν ακολουθεί τη συνήθη ιστορική διαδρομή.
Έτσι το μάθημα ξεκινά με τη διατύπωση της αρχής του Χάμιλτον και τη σχέση αυτής με τη Νευτώνεια μηχανική καθώς και την κβαντομηχανική μέσω των ολοκληρωμάτων διαδρομής. Ακολουθεί μια σύντομη εισαγωγή στο λογισμό μεταβολών και η εξαγωγή των εξισώσεων Euler-Lagrange
Η Αναλυτική Μηχανική αποτέλεσε μια προσπάθεια των Φυσικών του 18ου αιώνα να «στηθεί» η Νευτώνεια Μηχανική σε μια τέτοια αλγοριθμική μορφή ώστε όλα τα προβλήματα της Μηχανικής να λύνονται εύκολα. Παράλληλα «πάντρεψε» τη Μηχανική με την πολύ παλιά αναζήτηση των επιστημόνων η ανάλυση των φαινομένων να είναι απόρροια μιας τελεολογικής αρχής περί βελτιστοποίησης του φυσικού κόσμου. Η τελευταία αυτή προσπάθεια για τα μηχανικά συστήματα όχι μόνο στέφθηκε με επιτυχία μέσω της διατύπωσης της αρχής ελάχιστης δράσης από τον Χάμιλτον αλλά άνοιξε και το δρόμο στη Φυσική για την προσέγγιση νέων φυσικών συστημάτων μέσω της ίδιας αυτής αρχής.
Το μάθημα αυτό εδράζεται κυρίως στη δεύτερη αυτή σκοπιά και δεν ακολουθεί τη συνήθη ιστορική διαδρομή.
Έτσι το μάθημα ξεκινά με τη διατύπωση της αρχής του Χάμιλτον και τη σχέση αυτής με τη Νευτώνεια μηχανική καθώς και την κβαντομηχανική μέσω των ολοκληρωμάτων διαδρομής. Ακολουθεί μια σύντομη εισαγωγή στο λογισμό μεταβολών και η εξαγωγή των εξισώσεων Euler-Lagrange
Περίγραμμα
Διδάσκοντες
Πέτρος Ιωάννου
Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής,
Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής,
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών.
Θεοχάρης Αποστολάτος
Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής,
Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής,
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών.
Περιεχόμενο μαθήματος
ΕΝΟΤΗΤΑ 1η
Αρχή Χάμιλτον
- Η αρχή ελάχιστης δράσης ως γενική αρχή της Φυσικής.
- Η σχέση της αρχής ελάχιστης δράσης με τον δυναμικό νόμο του Νεύτωνα.
- Η σχέση της δράσης ως θεμελιακή φυσική ποσότητα με την κβαντομηχανική.
ΕΝΟΤΗΤΑ 2η
Λογισμός Μεταβολών
2.1 Η αρχή της ελάχιστης δράσης υπαγορεύει τις εξισώσεις Euler-Lagrange.
2.2 Η αναλλοιότητα των εξισώσεων Euler-Lagrange σε αλλαγές συντεταγμένων.
2.3 Η συνάρτηση Lagrange και οι ελευθερίες προσδιορισμού της.
2.4 Η Λαγκρανζιανή ελεύθερου σωματιδίου από πρώτες αρχές.
2.5 Η Λαγκρανιανή φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο.
2.6 Η Λαγκρανζιανή μηχανικού συστήματος που υπόκειται σε δεσμούς.
ΕΝΟΤΗΤΑ 3η
Συμμετρίες – Θεώρημα Noether
- Η έννοια της συμμετρίας.
- Το θεώρημα της
- Διατήρηση ορμής και στροφορμής.
- Γενικευμένο θεώρημα της Noether – διατήρηση ενέργειας.
ΕΝΟΤΗΤΑ 4η
Στροφές & Ειδική θεωρία της Σχετικότητας
- Απειροστές και πεπερασμένες στροφές.
- Κίνηση σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς.
- Ειδική θεωρία της Σχετικότητας.
ΕΝΟΤΗΤΑ 5η
Μικρές ταλαντώσεις
5.1 Λαγκρανζιανή συστήματος κοντά σε κατάσταση ισορροπίας.
5.2 Γραμμικοποίηση Λαγκρανζιανής.
5.3 Ανάλυση σε κανονικούς τρόπους ταλάντωσης - ιδιοσυχνότητες.
5.4 Ευστάθεια - Αστάθεια.
5.5 Διεγερμένα συστήματα.
ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
Χαμιλτονιανή
6.1 Μετασχηματισμός Legendre και Χαμιλτονιανή.
6.2 Εξισώσεις Χάμιλτον και Χαμιλτονιανή δυναμική.
6.3 Χώρος φάσεων και θεώρημα Liouville.
6.4 Κανονικοί μετασχηματισμοί.
6.5 Αγκύλες Poisson.
6.6 Μετάβαση στην κβαντομηχανική.
Μαθησιακοί στόχοι
Στόχοι του μαθήματος είναι:
- Η εξοικείωση των φοιτητών με την αρχή του Χάμιλτον και το λογισμό μεταβολών.
- Η δυνατότητα των φοιτητών να κατασκευάζουν Λαγκρανζιανές μηχανικών συστημάτων και στη συνέχεια να τα αναλύουν.
- Μια πρώτη γνωριμία των φοιτητών με την έννοια της συμμετρίας στη Φυσική.
- Η δυνατότητα των φοιτητών να βρίσκουν τις ιδιοσυχνότητες και τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης ενός συστήματος κοντά σε ισορροπία.
- Η δυνατότητα των φοιτητών να περνούν με ευκολία από το Λαγκρανζιανό στο Χαμιλτονιανό φορμαλισμό.
Προτεινόμενα συγγράμματα
Συγγράμματα που προσφέρονται μέσω του συστήματος ΕΥΔΟΞΟΣ
- Θεωρητική Μηχανική (Π. Ιωάννου, Θ. Αποστολάτος)
- Θεωρητική Μηχανική τόμος Β’ (Ι.Δ. Χατζηδημητρίου)
Βιβλιογραφία
Βιβλία (Textsbooks)
- The Feynman Lectures on Physics vol.I (Feynman, Leighton, Sands)
- Κλασική Μηχανική (Kibble, Berkshire)
- Θεωρητική Μηχανική Ι (Φ. Χατζηιωάννου)
- Mechanics (Landau)
Εκπαιδευτικό υλικό στο Διαδίκτυο
- http://users.uoa.gr/~pjioannou/mech2/ (σημειώσεις των διδασκόντων)
Προαπαιτούμενα
Γενικές προαπαιτούμενες γνώσεις: Στοιχειώδης Ανάλυση, και διανυσματική Ανάλυση, Νευτώνεια Μηχανική.- Κωδικοί ή/και σύνδεσμοι προαπαιτούμενων μαθημάτων του Τμήματος: Υ0312, Υ0322, Υ031.
Πέτρος Ιωάννου
Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής,
Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής,
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών.
Θεοχάρης Αποστολάτος
Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής,
Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής,
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών.
ΕΝΟΤΗΤΑ 1η
Αρχή Χάμιλτον
- Η αρχή ελάχιστης δράσης ως γενική αρχή της Φυσικής.
- Η σχέση της αρχής ελάχιστης δράσης με τον δυναμικό νόμο του Νεύτωνα.
- Η σχέση της δράσης ως θεμελιακή φυσική ποσότητα με την κβαντομηχανική.
ΕΝΟΤΗΤΑ 2η
Λογισμός Μεταβολών
2.1 Η αρχή της ελάχιστης δράσης υπαγορεύει τις εξισώσεις Euler-Lagrange.
2.2 Η αναλλοιότητα των εξισώσεων Euler-Lagrange σε αλλαγές συντεταγμένων.
2.3 Η συνάρτηση Lagrange και οι ελευθερίες προσδιορισμού της.
2.4 Η Λαγκρανζιανή ελεύθερου σωματιδίου από πρώτες αρχές.
2.5 Η Λαγκρανιανή φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο.
2.6 Η Λαγκρανζιανή μηχανικού συστήματος που υπόκειται σε δεσμούς.
ΕΝΟΤΗΤΑ 3η
Συμμετρίες – Θεώρημα Noether
- Η έννοια της συμμετρίας.
- Το θεώρημα της
- Διατήρηση ορμής και στροφορμής.
- Γενικευμένο θεώρημα της Noether – διατήρηση ενέργειας.
ΕΝΟΤΗΤΑ 4η
Στροφές & Ειδική θεωρία της Σχετικότητας
- Απειροστές και πεπερασμένες στροφές.
- Κίνηση σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς.
- Ειδική θεωρία της Σχετικότητας.
ΕΝΟΤΗΤΑ 5η
Μικρές ταλαντώσεις
5.1 Λαγκρανζιανή συστήματος κοντά σε κατάσταση ισορροπίας.
5.2 Γραμμικοποίηση Λαγκρανζιανής.
5.3 Ανάλυση σε κανονικούς τρόπους ταλάντωσης - ιδιοσυχνότητες.
5.4 Ευστάθεια - Αστάθεια.
5.5 Διεγερμένα συστήματα.
ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
Χαμιλτονιανή
6.1 Μετασχηματισμός Legendre και Χαμιλτονιανή.
6.2 Εξισώσεις Χάμιλτον και Χαμιλτονιανή δυναμική.
6.3 Χώρος φάσεων και θεώρημα Liouville.
6.4 Κανονικοί μετασχηματισμοί.
6.5 Αγκύλες Poisson.
6.6 Μετάβαση στην κβαντομηχανική.
Στόχοι του μαθήματος είναι:
- Η εξοικείωση των φοιτητών με την αρχή του Χάμιλτον και το λογισμό μεταβολών.
- Η δυνατότητα των φοιτητών να κατασκευάζουν Λαγκρανζιανές μηχανικών συστημάτων και στη συνέχεια να τα αναλύουν.
- Μια πρώτη γνωριμία των φοιτητών με την έννοια της συμμετρίας στη Φυσική.
- Η δυνατότητα των φοιτητών να βρίσκουν τις ιδιοσυχνότητες και τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης ενός συστήματος κοντά σε ισορροπία.
- Η δυνατότητα των φοιτητών να περνούν με ευκολία από το Λαγκρανζιανό στο Χαμιλτονιανό φορμαλισμό.
Συγγράμματα που προσφέρονται μέσω του συστήματος ΕΥΔΟΞΟΣ
- Θεωρητική Μηχανική (Π. Ιωάννου, Θ. Αποστολάτος)
- Θεωρητική Μηχανική τόμος Β’ (Ι.Δ. Χατζηδημητρίου)
Βιβλία (Textsbooks)
- The Feynman Lectures on Physics vol.I (Feynman, Leighton, Sands)
- Κλασική Μηχανική (Kibble, Berkshire)
- Θεωρητική Μηχανική Ι (Φ. Χατζηιωάννου)
- Mechanics (Landau)
Εκπαιδευτικό υλικό στο Διαδίκτυο
- http://users.uoa.gr/~pjioannou/mech2/ (σημειώσεις των διδασκόντων)
- Γενικές προαπαιτούμενες γνώσεις: Στοιχειώδης Ανάλυση, και διανυσματική Ανάλυση, Νευτώνεια Μηχανική.
- Κωδικοί ή/και σύνδεσμοι προαπαιτούμενων μαθημάτων του Τμήματος: Υ0312, Υ0322, Υ031.
- Νόμοι Νεύτωνα σε αντιπαράθεση με τους νόμους του Κέπλερ
- Σχόλια επί των νόμων του Νεύτωνα, Αδρανειακά και μη αδρανειακά συστήματα, αριθμητική ολοκλήρωση των νόμων.
- Η αρχή ελάχιστης δράσης ως γενική αρχή της Φυσικής
- Η σχέση της αρχής ελάχιστης δράσης με τον δυναμικό νόμο του Νεύτωνα
- Η σχέση της δράσης ως θεμελιακής φυσικής ποσότητας με την κβαντομηχανική.
Λέξεις Κλειδιά: Αρχή ελάχιστης δράσης, αρχή Hamilton, δράση, Λαγκρανζιανή.
- Η αρχή της ελάχιστης δράσης υπαγορεύει τις εξισώσεις Euler-Lagrange.
- Η αναλλοιότητα των εξισώσεων Euler-Lagrange σε αλλαγές συντεταγμένων.
- Η συνάρτηση Lagrange και οι ελευθερίες προσδιορισμού της.
- Η Λαγκρανζιανή ελεύθερου σωματιδίου από πρώτες αρχές.
- Η Λαγκρανιανή φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο.
- Η Λαγκρανζιανή μηχανικού συστήματος που υπόκειται σε δεσμούς.
Λέξεις Κλειδιά: Εξισώσεις Euler-Lagrange, λογισμός μεταβολών, μετασχηματισμός βαθμονόμησης.
- Η έννοια της συμμετρίας.
- Το θεώρημα της Noether.
- Διατήρηση ορμής και στροφορμής.
- Γενικευμένο θεώρημα της Noether – διατήρηση ενέργειας.
Λέξεις Κλειδιά: Συμμετρία, θεώρημα Noether, ολοκλήρωμα Jacobi.
- Απειροστές και πεπερασμένες στροφές.
- Κίνηση σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς.
- Ειδική θεωρία της Σχετικότητας.
Λέξεις Κλειδιά: Απειροστές και πεπερασμένες στροφές, γεννήτορας μετασχηματισμού, μετασχηματισμοί Lorentz.
- Λαγκρανζιανή συστήματος κοντά σε κατάσταση ισορροπίας.
- Γραμμικοποίηση Λαγκρανζιανής.
- Ανάλυση σε κανονικούς τρόπους ταλάντωσης – ιδιοσυχνότητες, ευστάθεια – αστάθεια, διεγερμένα συστήματα.
Λέξεις Κλειδιά: Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης, ιδιοσυχνότητες.
- Μετασχηματισμός Legendre και Χαμιλτονιανή.
- Εξισώσεις Χάμιλτον και Χαμιλτονιανή δυναμική.
- Χώρος φάσεων και θεώρημα Liouville.
- Κανονικοί μετασχηματισμοί, αγκύλες Poisson, μετάβαση στην κβαντομηχανική.
Λέξεις Κλειδιά: Μετασχηματισμός Legendre, εξισώσεις Hamilton, Χαμιλτονιανή, χώρος φάσεων, θεώρημα Liouville, αγκύλες Poisson, κανονικοί μετασχηματισμοί.
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 0
Αρ. Προβολών : 0
Ανακοινώσεις
- - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -
