Εισαγωγή στην Κυματική

Προσεγγίζεται η έννοια του κύματος με έμφαση στη δυσκολία που έχει ο ορισμός μιας φυσικής ποσότητας. Δίδονται παραδείγματα κακών ορισμών φυσικών οντοτήτων. Εννοιολογικά δομούνται οι περιορισμοί που επιτρέπουν τη μαθηματική περιγραφή μιας διαδιδόμενης διαταραχής ώστε να είναι και αντικείμενο της κυματικής. Έμφαση δίδεται στις "μαθηματικές" έννοιες «ισοφασική επιφάνεια» - «φασική ταχύτητα», στην εξήγηση γιατί η δυνατότητα διάκρισής τους είναι προϋπόθεση για τη μαθηματική περιγραφή μιας διαδιδόμενης διαταραχής και στη διάκριση μεταξύ της «μαθηματικής μη ανυσματικής φασικής ταχύτητας» και της ανυσματικής ταχύτητας σωματιδίου με την οποία είμαστε εξοικειωμένοι.

Λεξεις κλειδιά: Κύμα, ορισμός φυσικού μεγέθους.

Δίδεται η έννοια του «ιδανικού κύματος» που αποτελεί τη διδακτική μονάδα της μελέτης των κυμάτων, η έννοια της διάδοσης, δηλαδή, διαταραχής σε μονοδιάστατη γραμμή μεταφοράς χωρίς παραμόρφωση με μια καλώς καθορισμένη φασική ταχύτητα. Δίδεται η κυματική εξίσωση που περιγράφει μια τέτοια διάδοση και τέλος η διαφορική εξίσωση του κύματος, το δυναμικό, δηλαδή, κριτήριο που η εκπλήρωσή του εξασφαλίζει τη διάδοση διαταραχής χωρίς παραμόρφωση με μια καλά καθορισμένη ταχύτητα διάδοσης. Εξάγεται η διαφορική εξίσωση του κύματος, ως δυναμικού κριτηρίου που η ικανοποίησή του εξασφαλίζει τη διάδοση μιας διαταραχής χωρίς παραμόρφωση με μια καλώς καθορισμένη φασική ταχύτητα διάδοσης.

Λέξεις κλειδιά: Η εξίσωση του κύματος, η διαφορική εξίσωση του κύματος.

Γίνεται μελέτη εγκάρσιας διαταραχής σε γραμμή μεταφοράς απείρου μήκους. Δίνεται έμφαση στο πλήθος των προϋποθέσεων που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε και στην απλή αυτή διάδοση διαταραχής να είναι δυνατή η ικανοποίηση της διαφορικής εξίσωσης του κύματος. Δίδεται έμφαση στο γεγονός ότι η μελέτη αφορά «πρότυπο» κυματικής διάδοσης, η διαταραχή και η γραμμή μεταφοράς έχουν προικιστεί με προϋποθέσεις που δεν συναντώνται στην πραγματικότητα. Επισημαίνεται ότι στη θέση των τύπων της Φυσικής θα πρέπει να τίθενται αντίστοιχα «λογικά συστήματα».

Λέξεις κλειδιά: Διάδοση εγκάρσιας διαταραχής, αρμονικό κύμα

Γίνεται μελέτη του τρόπου διάδοσης της ενέργειας και της ορμής κατά τη διάδοση μιας ήπιας εγκάρσιας διαταραχής σε χορδή απείρου μήκους. Δίνεται έμφαση σε παράδοξα εκ πρώτης όψεως όσον αφορά τη χωρική και χρονική κατανομή της κινητικής και δυναμικής ενέργειας όπως και στις συνέπειες που προκύπτουν από τη μελέτη προτύπων και όχι πραγματικών διευθετήσεων.

Λέξεις κλειδιά: Χωρική και χρονική κατανομή ενέργειας-ορμής.

Εισάγεται η έννοια της «ενδογενούς εμπέδησης». Δίδεται έμφαση στην καθοριστική εμπλοκή της φυσικής αυτής οντότητας στη διαμόρφωση των φαινομένων της ανάκλασης-διάθλασης.

Λέξεις κλειδιά: Εμπέδηση

Επισημαίνεται ο μαθηματικός χαρακτήρας της έννοιας της φασικής ταχύτητας. Επισημαίνεται η «ουτοπική» φύση του αρμονικού κύματος και η χρησιμότητά του ως διδακτικής μονάδας. Δίδεται έμφαση στο γεγονός πως γίνεται η δόμηση πραγματικών φυσικών ποσοτήτων, όπως είναι η ταχύτητα ομάδας, από διδακτικές μαθηματικές οντότητες, όπως είναι η φασική ταχύτητα, μέσω μαθηματικών θεωρημάτων. Διερευνώνται οι προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται ώστε να είναι δυνατός ο ορισμός της ταχύτητας ομάδας. Γίνεται αναφορά στο φαινόμενο της διασποράς με τη χρήση παραδειγμάτων από διάφορα πεδία της φυσικής.

Λέξεις κλειδιά: Ομαδική ταχύτητα, φασική ταχύτητα, θεώρημα Fourier

Εισάγεται η θεμελιώδης έννοια του στάσιμου κύματος. Δίνεται έμφαση στο εννοιολογικό υπόβαθρο του και τη διάκρισή του σε σχέση με αυτό του οδεύοντος κύματος. Επισημαίνεται η διαφοροποίηση στη χωρική και χρονική κατανομή της ενέργειας στο στάσιμο και το οδεύον κύμα.

Λέξεις κλειδιά: Στάσιμο κύμα, οδεύον κύμα, δεσμοί, κοιλίες

Γίνεται μελέτη της διαταραχής που αναπτύσσεται σε χορδή που είναι πακτωμένη στο ένα άκρο της ενώ στο άλλο άκρο της διεγείρεται. Δίδεται έμφαση: (i) στην έννοια των ιδιοσυχνοτήτων, (ii) στη διευκρίνιση της διευθέτησης αποκατάστασης απείρου πλάτους στις κοιλίες όταν η συχνότητα του διεγέρτη ταυτίζεται με ιδιοσυχνότητα του διεγειρόμενου συστήματος, (iii) στη διάσταση που υπάρχει μεταξύ της «κοινής λογικής» και των αποτελεσμάτων της συστηματικής μαθηματικής ανάλυσης.

Λέξεις κλειδιά: Ιδιοσυχνότητες

Γίνεται μελέτη των στάσιμων κυμάτων που αναπτύσσονται σε χορδή που είναι πακτωμένη στα δύο άκρα της ύστερα από διέγερσή της. Εστιάζεται η μελέτη στις έννοιες ιδιοσυχνότητες - ιδισυναρτήσεις και πως αυτές διαμορφώνονται από τις συνοριακές συνθήκες. Δίνεται έμφαση στο πως οι εξειδικευμένες αρχικές συνθήκες (εξειδικευμένες αρχικές διεγέρσεις) αναπτύσσουν ένα αντίστοιχο εξειδικευμένο υποσύνολο στάσιμων κυμάτων από το σύνολο των στάσιμων κυμάτων που είναι δυνατό να αναπτυχθεί με βάση τις δεδομένες συνοριακές συνθήκες. Δίδεται έμφαση στη πρόνοια της φύσης να προβαίνει σε «έξυπνες» διευθετήσεις τέτοιες ώστε να εξασφαλίζεται η ύπαρξη συνιστωσών της τέχνης (μουσική). Χαρακτηριστικά επισημαίνεται ότι το ότι η εξειδικευμένη διέγερση αναπτύσσει ένα αντίστοιχο εξειδικευμένο υποσύνολο από το σύνολο των επιτρεπόμενων στασίμων κυμάτων και το ότι   ο τρόπος ανισοκατανομής της ενέργειας που προσφέρεται κατά τη διέγερση στα στάσιμα κύματα που αναπτύσσονται επιτρέπει την ανάπτυξη ακουστικού αποτελέσματος που ονομάζουμε μουσική.

Λέξεις κλειδιά: Ιδιοσυχνότητες, ιδιοσυναρτήσεις, θεώρημα Fourier

Ερωτήσεις και Ασκήσεις