Μαθηματική Λογική
Κωνσταντίνος Δημητρακόπουλος
Το μάθημα αφορά βασικές γνώσεις Μαθηματικής Λογικής, δηλαδή τους τρόπους ορθής επιχειρηματολογίας, σε όσο το δυνατό γενικότερο πλαίσιο, με χρήση συμβολισμού και μεθόδων από τα Μαθηματικά.
Λιγότερα
Το μάθημα αφορά βασικές γνώσεις Μαθηματικής Λογικής, δηλαδή τους τρόπους ορθής επιχειρηματολογίας, σε όσο το δυνατό γενικότερο πλαίσιο, με χρήση συμβολισμού και μεθόδων από τα Μαθηματικά.
Το μάθημα αφορά βασικές γνώσεις Μαθηματικής Λογικής, δηλαδή τους τρόπους ορθής επιχειρηματολογίας, σε όσο το δυνατό γενικότερο πλαίσιο, με χρήση συμβολισμού και μεθόδων από τα Μαθηματικά.
Περίγραμμα
Διδάσκοντες
Κωνσταντίνος Δημητρακόπουλος
Θέση : Καθηγητής
Γνωστικό αντικείμενο : Λογική
E-mail : cdimitr@phs.uoa.gr
Περιεχόμενο μαθήματος
Η ύλη του μαθήματος διαιρείται σε τρία κεφάλαια.
- Το πρώτο κεφάλαιο έχει εισαγωγικό-ιστορικό χαρακτήρα και είναι, σε μεγάλο βαθμό, ανεξάρτητο από τα άλλα δύο.
- Το δεύτερο κεφάλαιο αφορά την «προτασιακή λογική», δηλαδή τον πιο πρωτόγονο τρόπο συμβολικής ανάλυσης επιχειρημάτων, με βάση μόνο σύμβολα που αντιστοιχούν σε συνδετικές λέξεις όπως «και», «αν…τότε…» κτλ.
- Το τελευταίο κεφάλαιο αφορά την «κατηγορηματική λογική», δηλαδή τη μελέτη του συμβολικής ανάλυσης επιχειρημάτων, όπου η ανάλυση γίνεται όχι μόνο με βάση συνδετικά σύμβολα, αλλά και σύμβολα για εκφράσεις ποσότητας, όπως η «για κάθε», και σύμβολα για ιδιότητες και συναρτήσεις.
Μαθησιακοί στόχοι
Οι βασικοί στόχοι του μαθήματος είναι
- Να κάνει γνωστές στον αναγνώστη σημαντικές φυσιογνωμίες που συνέβαλαν καθοριστικά στην ανάπτυξη και εξέλιξη της Μαθηματικής Λογικής
- Να εξηγήσει στον αναγνώστη τη διαφορά μεταξύ φυσικών και τυπικών γλωσσών, καθώς και μεταξύ σημασιολογίας και συντακτικού
- Να δείξει με παραδείγματα στον αναγνώστη πώς μπορεί να εκφράσει επιχειρήματα σε συμβολική μορφή, ώστε να ελέγξει ευκολότερα την εγκυρότητά τους.
- Να εξοικειώσει τον αναγνώστη με τους εναλλακτικούς τρόπους μελέτης της εγκυρότητας επιχειρημάτων στην προτασιακή λογική, δηλαδή όταν η ανάλυση γίνεται μόνο με σύμβολα που αντιστοιχούν σε συνδετικές λέξεις μιας φυσικής γλώσσας. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται τόσο θεωρητικά, όσο και πρακτικά (δηλαδή με παραδείγματα) η σημασιολογική προσέγγιση, δηλαδή με χρήση πινάκων αλήθειας, και η συντακτική προσέγγιση, δηλαδή μέσω αξιωμάτων και αποδεικτικών κανόνων
- Να εξοικειώσει τον αναγνώστη με τους εναλλακτικούς τρόπους μελέτης της εγκυρότητας επιχειρημάτων στην κατηγορηματική λογική, δηλαδή όταν η ανάλυση γίνεται με σύμβολα που αντιστοιχούν σε συνδετικές λέξεις μιας φυσικής γλώσσας, αλλά και με σύμβολα που αντιστοιχούν σε εκφράσεις ποσότητας, ιδιοτήτων κτλ. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται τόσο θεωρητικά, όσο και πρακτικά (δηλαδή με παραδείγματα) η σημασιολογική προσέγγιση, δηλαδή η χρήση του «ορισμού ικανοποίησης» του Tarski, και η συντακτική προσέγγιση, δηλαδή μέσω αξιωμάτων, λογικών και μη, και αποδεικτικών κανόνων
- Να παρουσιάσει στον αναγνώστη τις βασικές ιδέες των αποδείξεων, στην προτασιακή και στην κατηγορηματική λογική, ότι η σημασιολογική συνεπαγωγή είναι ισοδύναμη με την συντακτική/τυπική συνεπαγωγή (θεωρήματα εγκυρότητας και πληρότητας).
Ομάδα στόχος
Εν ενεργεία φοιτητές/φοιτήτριες και απόφοιτοι Σχολών Θετικών Επιστημών και Πολυτεχνικών Σχολών.
Ενδιαφερόμενοι για τη θεματική περιοχή: Λογική και Θεμέλια των Μαθηματικών.
Προαπαιτούμενα
Απαιτείται στοιχειώδης μαθηματική ωριμότητα, δηλαδή άνεση στη χρήση συμβόλων και γνώση βασικών μαθηματικών εννοιών και μεθόδων (πράξεις μεταξύ συνόλων, αρχή μαθηματικής επαγωγής κτλ.).
Βιβλιογραφία
Συγγράμματα που προσφέρονται μέσω του συστήματος Εύδοξος :
- Βιβλίο [32998373]: Μία Μαθηματική εισαγωγή στη Λογική, Enderton Herbert
- Βιβλίο [11377]: Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής, Τζουβάρας Αθανάσιος
- Βιβλίο [24354]: Από τη Λογική στο Λογικό Προγραμματισμό και την Prolog, Μητακίδης Γιώργος
- Βιβλίο [12405096]: Μαθηματική Λογική, Τουρλάκης Γεώργιος
- Βιβλίο [11076]: Λογική και απόδειξη, Μπόριτσιτς Μπράνισλαβ
Εκπαιδευτικό υλικό στο Διαδίκτυο :
Άρθρα με ανοικτή πρόσβαση:
Προτεινόμενα συγγράμματα
- Βιβλίο [32998373]: Μία Μαθηματική εισαγωγή στη Λογική, Enderton Herbert
- Βιβλίο [11377]: Στοιχεία Mαθηματικής Λογικής, Τζουβάρας Αθανάσιος
- Βιβλίο [24354]: Από τη Λογική στο Λογικό Προγραμματισμό και την Prolog, Παράδειγμα : η δομή για την Πρωτοβάθμια γλώσσα της Αριθμητικής, Μητακίδης Γιώργος
- Βιβλίο [12405096]: Μαθηματική Λογική, Τουρλάκης Γεώργιος
- Βιβλίο [11076]: Λογική και απόδειξη, Μπόριτσιτς Μπράνισλαβ
Κωνσταντίνος Δημητρακόπουλος
Θέση : Καθηγητής
Γνωστικό αντικείμενο : Λογική
E-mail : cdimitr@phs.uoa.gr
Η ύλη του μαθήματος διαιρείται σε τρία κεφάλαια.
- Το πρώτο κεφάλαιο έχει εισαγωγικό-ιστορικό χαρακτήρα και είναι, σε μεγάλο βαθμό, ανεξάρτητο από τα άλλα δύο.
- Το δεύτερο κεφάλαιο αφορά την «προτασιακή λογική», δηλαδή τον πιο πρωτόγονο τρόπο συμβολικής ανάλυσης επιχειρημάτων, με βάση μόνο σύμβολα που αντιστοιχούν σε συνδετικές λέξεις όπως «και», «αν…τότε…» κτλ.
- Το τελευταίο κεφάλαιο αφορά την «κατηγορηματική λογική», δηλαδή τη μελέτη του συμβολικής ανάλυσης επιχειρημάτων, όπου η ανάλυση γίνεται όχι μόνο με βάση συνδετικά σύμβολα, αλλά και σύμβολα για εκφράσεις ποσότητας, όπως η «για κάθε», και σύμβολα για ιδιότητες και συναρτήσεις.
Οι βασικοί στόχοι του μαθήματος είναι
- Να κάνει γνωστές στον αναγνώστη σημαντικές φυσιογνωμίες που συνέβαλαν καθοριστικά στην ανάπτυξη και εξέλιξη της Μαθηματικής Λογικής
- Να εξηγήσει στον αναγνώστη τη διαφορά μεταξύ φυσικών και τυπικών γλωσσών, καθώς και μεταξύ σημασιολογίας και συντακτικού
- Να δείξει με παραδείγματα στον αναγνώστη πώς μπορεί να εκφράσει επιχειρήματα σε συμβολική μορφή, ώστε να ελέγξει ευκολότερα την εγκυρότητά τους.
- Να εξοικειώσει τον αναγνώστη με τους εναλλακτικούς τρόπους μελέτης της εγκυρότητας επιχειρημάτων στην προτασιακή λογική, δηλαδή όταν η ανάλυση γίνεται μόνο με σύμβολα που αντιστοιχούν σε συνδετικές λέξεις μιας φυσικής γλώσσας. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται τόσο θεωρητικά, όσο και πρακτικά (δηλαδή με παραδείγματα) η σημασιολογική προσέγγιση, δηλαδή με χρήση πινάκων αλήθειας, και η συντακτική προσέγγιση, δηλαδή μέσω αξιωμάτων και αποδεικτικών κανόνων
- Να εξοικειώσει τον αναγνώστη με τους εναλλακτικούς τρόπους μελέτης της εγκυρότητας επιχειρημάτων στην κατηγορηματική λογική, δηλαδή όταν η ανάλυση γίνεται με σύμβολα που αντιστοιχούν σε συνδετικές λέξεις μιας φυσικής γλώσσας, αλλά και με σύμβολα που αντιστοιχούν σε εκφράσεις ποσότητας, ιδιοτήτων κτλ. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται τόσο θεωρητικά, όσο και πρακτικά (δηλαδή με παραδείγματα) η σημασιολογική προσέγγιση, δηλαδή η χρήση του «ορισμού ικανοποίησης» του Tarski, και η συντακτική προσέγγιση, δηλαδή μέσω αξιωμάτων, λογικών και μη, και αποδεικτικών κανόνων
- Να παρουσιάσει στον αναγνώστη τις βασικές ιδέες των αποδείξεων, στην προτασιακή και στην κατηγορηματική λογική, ότι η σημασιολογική συνεπαγωγή είναι ισοδύναμη με την συντακτική/τυπική συνεπαγωγή (θεωρήματα εγκυρότητας και πληρότητας).
Εν ενεργεία φοιτητές/φοιτήτριες και απόφοιτοι Σχολών Θετικών Επιστημών και Πολυτεχνικών Σχολών.
Ενδιαφερόμενοι για τη θεματική περιοχή: Λογική και Θεμέλια των Μαθηματικών.
Απαιτείται στοιχειώδης μαθηματική ωριμότητα, δηλαδή άνεση στη χρήση συμβόλων και γνώση βασικών μαθηματικών εννοιών και μεθόδων (πράξεις μεταξύ συνόλων, αρχή μαθηματικής επαγωγής κτλ.).
Συγγράμματα που προσφέρονται μέσω του συστήματος Εύδοξος :
- Βιβλίο [32998373]: Μία Μαθηματική εισαγωγή στη Λογική, Enderton Herbert
- Βιβλίο [11377]: Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής, Τζουβάρας Αθανάσιος
- Βιβλίο [24354]: Από τη Λογική στο Λογικό Προγραμματισμό και την Prolog, Μητακίδης Γιώργος
- Βιβλίο [12405096]: Μαθηματική Λογική, Τουρλάκης Γεώργιος
- Βιβλίο [11076]: Λογική και απόδειξη, Μπόριτσιτς Μπράνισλαβ
Εκπαιδευτικό υλικό στο Διαδίκτυο :
Άρθρα με ανοικτή πρόσβαση:
- Βιβλίο [32998373]: Μία Μαθηματική εισαγωγή στη Λογική, Enderton Herbert
- Βιβλίο [11377]: Στοιχεία Mαθηματικής Λογικής, Τζουβάρας Αθανάσιος
- Βιβλίο [24354]: Από τη Λογική στο Λογικό Προγραμματισμό και την Prolog, Παράδειγμα : η δομή για την Πρωτοβάθμια γλώσσα της Αριθμητικής, Μητακίδης Γιώργος
- Βιβλίο [12405096]: Μαθηματική Λογική, Τουρλάκης Γεώργιος
- Βιβλίο [11076]: Λογική και απόδειξη, Μπόριτσιτς Μπράνισλαβ
Γίνεται μια σύντομη αναφορά στην εξέλιξη της Λογικής, καθώς και αναφορά στη διαφορά μεταξύ φυσικών και τυπικών γλωσσών, καθώς και στη διαφορά μεταξύ σημασιολογικής και συντακτικής πλευράς μια γλώσσας.
Λέξεις κλειδιά: τυπική γλώσσα, μεταγλώσσα, σημασιολογία, συντακτικό
Εισάγεται η τυπική γλώσσα της προτασιακής λογικής, καθορίζονται οι επιτρεπτοί τρόποι κατασκευής προτασιακών τύπων και δίνονται οι πίνακες αλήθειας των προτασιακών συνδέσμων.
Λέξεις κλειδιά: προτασιακή λογική, προτασιακός τύπος, αποτίμηση, πίνακας αλήθειας
Παρουσιάζεται η σημασιολογική προσέγγιση του ελέγχου εγκυρότητας επιχειρηματικών μορφών στην προτασιακή λογική, καθώς και μερικές βασικές ιδιότητές της. Δίνονται παραδείγματα έγκυρων επιχειρηματικών προτασιακών μορφών, καθώς και κατάλογος βασικών νόμων της προτασιακής λογικής.
Λέξεις κλειδιά: ταυτολογία, αντίφαση, ταυτολογική συνεπαγωγή, νόμοι προτασιακής λογικής
Αναλύεται το ερώτημα πόσοι/ποιοί από τους συνήθεις συνδέσμους επαρκούν για την προτασιακή λογική, καθώς και ποιοι άλλοι σύνδεσμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη θέση των πέντε συνήθων συνδέσμων.
Λέξεις κλειδιά: συνάρτηση Boole, κανονική διαζευκτική μορφή, πλήρες σύνολο συνδέσμων
Παρουσιάζεται η συντακτική προσέγγιση του ελέγχου επιχειρηματικών μορφών στην προτασιακή λογική, στο πλαίσιο ενός συγκεκριμένου «τυπικού λογισμού», δηλαδή ενός συγκεκριμένου τυπικού (αξιωματικού) συστήματος για την προτασιακή λογική. Αποδεικνύονται θεωρήματα που αφορούν το λογισμό αυτό, που διευκολύνουν σημαντικά την κατασκευή αποδείξεων στο εσωτερικό του (θεωρήματα παραγωγής, απαγωγής σε άτοπο κτλ.).
Λέξεις κλειδιά: προτασιακός λογισμός, τυπική απόδειξη, αξιωματικό σύστημα, αποδεικτικός κανόνας
Αποδεικνύεται ότι ο προτασιακός λογισμός είναι έγκυρος και πλήρης, δηλαδή οι προτασιακοί τύποι που αποδεικνύονται στο πλαίσιό του είναι ακριβώς αυτοί που είναι ταυτολογίες, δηλαδή όσοι είναι έγκυροι από σημασιολογική άποψη.
Λέξεις κλειδιά: συνεπές σύνολο προτασιακών τύπων, εγκυρότητα προτασιακού λογισμού, πληρότητα προτασιακού λογισμού
Εισάγονται οι πρωτοβάθμιες γλώσσες, δηλαδή οι τυπικές γλώσσες που χρησιμοποιούνται στην κατηγορηματική λογική, καθορίζονται οι επιτρεπτοί τρόποι κατασκευής πρωτοβάθμιων τύπων, ορίζεται η έννοια της δομής (ερμηνείας) και παρουσιάζεται ο ορισμός του Tarski για την ικανοποίηση κατηγορηματικού τύπου στο πλαίσιο δομής.
Λέξεις κλειδιά: πρωτοβάθμια γλώσσα, πρωτοβάθμιος τύπος, κατηγορηματική λογική, δομή, ερμηνεία, αποτίμηση, πρόταση, ορισμός ικανοποίησης Tarski
Παρουσιάζεται η σημασιολογική προσέγγιση του ελέγχου εγκυρότητας επιχειρηματικών μορφών στην κατηγορηματική λογική, καθώς και μερικές βασικές ιδιότητές της. Δίνονται παραδείγματα έγκυρων επιχειρηματικών πρωτοβάθμιων μορφών, καθώς και κατάλογος βασικών νόμων της κατηγορηματικής λογικής.
Λέξεις κλειδιά: λογικά αληθής τύπος, λογική συνεπαγωγή, μοντέλο, νόμοι κατηγορηματικής λογικής
Αποδεικνύεται το θεώρημα κανονικής ποσοδεικτικής μορφής, συνέπεια του οποίου είναι το γεγονός ότι αρκούν δύο σύνδεσμοι και ένας ποσοδείκτης για τη σημασιολογία της κατηγορηματικής λογικής.
Λέξεις κλειδιά: κανονική ποσοδεικτική μορφή, αλφαβητική παραλλαγή
Παρουσιάζεται η συντακτική προσέγγιση του ελέγχου επιχειρηματικών μορφών στην κατηγορηματική λογική, στο πλαίσιο ενός συγκεκριμένου «τυπικού λογισμού», δηλαδή ενός τυπικού (αξιωματικού) συστήματος για την κατηγορηματική λογική. Αποδεικνύονται θεωρήματα που αφορούν το λογισμό αυτό, που διευκολύνουν σημαντικά την κατασκευή αποδείξεων στο εσωτερικό του (θεωρήματα παραγωγής, γενίκευσης κτλ.)
Λέξεις κλειδιά: κατηγορηματικός λογισμός, λογικό αξίωμα, μη-λογικό αξίωμα
Αποδεικνύεται ότι ο κατηγορηματικός λογισμός είναι έγκυρος και πλήρης, δηλαδή οι κατηγορηματικοί τύποι που αποδεικνύονται στο πλαίσιό του είναι ακριβώς αυτοί που είναι λογικά αληθείς, δηλαδή όσοι είναι έγκυροι από σημασιολογική άποψη σε κάθε ερμηνεία της πρωτοβάθμιας γλώσσας.
Λέξεις κλειδιά: συνεπές σύνολο πρωτοβάθμιων τύπων, εγκυρότητα κατηγορηματικού λογισμού, πληρότητα κατηγορηματικού λογισμού
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 0
Αρ. Προβολών : 0
Ημερολόγιο
Ανακοινώσεις
- - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -
