Εισαγωγή στην Τοπολογία

Σοφοκλής Μερκουράκης

Περιγραφή

Η έννοια της τοπολογίας αποτελεί μία γενίκευση, κατά ουσιαστικό τρόπο, της έννοιας του μετρικού χώρου και δημιουργεί μία εξαιρετικά πλουσιότερη κλάση, αυτή των τοπολογικών χώρων.

Στην πρώτη ενότητα παρουσιάζονται οι ορισμοί των εννοιών και μερικά βασικά παραδείγματα τοπολογικών χώρων. Επίσης, εισάγονται οι έννοιες της βάσης και της υποβάσης μίας τοπολογίας καθώς και αυτές του εσωτερικού και της κλειστότητας ενός συνόλου.

Στη δεύτερη ενότητα η προσοχή μας μεταφέρεται από τις ολικές έννοιες, στη συμπεριφορά της τοπολογίας κοντά σε κάθε σημείο του χώρου.

Στην τρίτη ενότητα εξετάζεται κατά πόσο η έννοια της ακολουθίας είναι ικανή για το χαρακτηρισμό της κλειστότητας ενός συνόλου ή της συνέχειας μίας συνάρτησης, στην ευρύτερη κλάση των τοπολογικών χώρων.

Στην τέταρτη ενότητα περιγράφονται μέθοδοι κατασκευής νέων τοπολογικών χώρων από ήδη υπάρχοντες.

Στην πέμπτη ενότητα εξετάζεται μία σειρά από συνθήκες, οι οποίες καθιστούν την τοπολογία ενός χώρου ευνοϊκή ως προς τη διαχωριστικότητα του χώρ

Περισσότερα  
CC - Αναφορά - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή
Περιεχόμενο μαθήματος
  • Τοπολογικοί χώροι (ορισμοί των εννοιών : τοπολογικός χώρος και τοπολογία. Κύριες τοπολογικές έννοιες, βάσεις τοπολογίας και περιοχών, υπόχωροι τοπολογικού χώρου).
  • Συνεχείς συναρτήσεις σε τοπολογικούς χώρους (σημειακή (τοπική) συνέχεια και (ολική) συνέχεια, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων, η τοπολογία γινόμενο, μετρικές τοπολογίες).
  • Σύγκλιση (δίκτυα και υποδίκτυα, σύγκλιση ακολουθιών, σύγκλιση δικτύων, μελέτη της συνέχειας συναρτήσεων με τη βοήθεια δικτύων).
  • Συμπάγεια (ορισμός του συμπαγούς τοπολογικού χώρου και βασικές ιδιότητες, συνέχεια συναρτήσεων και συμπάγεια, συμπαγείς μετρικοί χώροι).
  • Συνεκτικότητα (ορισμός του συνεκτικού τοπολογικού χώρου και βασικές ιδιότητες, συνεκτικές συνιστώσες, συνέχεια συναρτήσεων και συνεκτικότητα).
  • Αξιώματα αριθμήσιμου και διαχωριστικά αξιώματα. Τα θεωρήματα Urysohn και Tychonoff (το Λήμμα του Urysohn, το θεώρημα μετρικοποιησιμότητας του Urysohn, το θεώρημα του Tychonoff).
  • Τοπολογίες χώρων συναρτήσεων (η τοπολογία της σημειακής σύγκλισης, η συμπαγής ανοικτή τοπολογία).
Διδάσκοντες

Σοφοκλής Μερκουράκης

Θέση : Καθηγητής

Ερευνητικά Ενδιαφέροντα : Χώροι Banach, Θεωρία Μέτρου, Γενική Τοπολογία, Uniform Distribution of Sequences

e-mail : smercour@math.uoa.gr

Τηλέφωνο : 210-7276318

Fax : 210-7276398

Γραφείο : 311

Μαθησιακοί στόχοι
  • Εξοικείωση με τις έννοιες που αφορούν τους τοπολογικούς χώρους
  • Μελέτη της συμπεριφοράς της τοπολογίας κοντά σε κάθε σημείο του χώρου
  • Κατανόηση της ανάγκης για την εισαγωγή της έννοιας του δικτύου
  • Εξοικείωση με την κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων από ήδη υπάρχοντες
  • Μελέτη των συνθηκών διαχωριστικότητας και αριθμησιμότητας τοπολογικών χώρων
  • Μελέτη των συνθηκών μετρικοποιησιμότητας τοπολογικών χώρων
  • Μελέτη της συνεκτικότητας και της συμπάγειας τοπολογικών χώρων
Ομάδα στόχος

Προπτυχιακοί φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών, ενδιαφερόμενοι για τη θεματική περιοχή “Θεωρητικά Μαθηματικά – Μαθηματική Ανάλυση”.

Προτεινόμενα συγγράμματα

Σ.Νεγρεπόντης, Θ.Ζαχαριάδης, Ν.Καλαμίδας, Β.Φαρμάκη - “Γενική Τοπολογία και Συναρτησιακή Ανάλυση” (Εκδόσεις Αίθρα) ISBN : 960-7007-24-7

Βιβλιογραφία
  • James Munkres – Topology
  • Nicolas Bourbaki – General Topology

Ενότητες

Εσωτερικό συνόλου

 

  • Ανοικτά σύνολα
  • Βάσεις και υποβάσεις
  • Κλειστά σύνολα
  • Εσωτερικό, κλειστότητα και σύνορο συνόλου

 

  

Λέξεις κλειδιά: ανοικτό σύνολο, βάση, υποβάση, κλειστό σύνολο, εσωτερικό, κλειστότητα, σημείο συσσώρευσης, σύνορο

Περιοχή σημείου τοπολογικού χώρου

 

  • Περιοχές και βάσεις περιοχών
  • Φίλτρα και υπερφίλτρα

 

 

 

Λέξεις κλειδιά: περιοχή, βάση περιοχών, φίλτρο, υπερφίλτρο

Σύγκλιση κατά υπερφίλτρο

 

  • Σύγκλιση δικτύων
  • Συνέχεια
  • Σύγκλιση κατά υπερφίλτρο

 

Λέξεις κλειδιά: ακολουθία, κατευθυνόμενο σύνολο, δίκτυο, ομοτελικό σύνολο, υποδίκτυο, σύγκλιση, οριακό σημείο, συνέχεια, ανοικτή συνάρτηση, κλειστή συνάρτηση, ομοιομορφισμός, υπερφίλτρο, όριο Banach

Τοπολογία γινόμενο

 

  • Υπόχωροι τοπολογικών χώρων
  • Ασθενής τοπολογία ως προς μία οικογένεια συναρτήσεων
  • Τοπολογία γινόμενο
  • Τοπολογία πηλίκο

 

Λέξεις κλειδιά: υπόχωρος, ασθενής τοπολογία, οικογένεια συναρτήσεων, τοπολογία γινόμενο, τοπολογία πηλίκο

Κανονικός τοπολογικός χώρος

 

  • Χώροι Τ1
  • Χώροι Hausdorff
  • Κανονικοί χώροι
  • Φυσιολογικοί χώροι
  • Τελείως κανονικοί χώροι

 

Λέξεις κλειδιά: χώρος Τ1, χώρος Hausdorff, κανονικός χώρος, φυσιολογικός χώρος, τελείως κανονικός χώρος, λήμμα Urysohn

Συνθήκες αριθμησιμότητας τοπολογικών χώρων

 

  • Διαχωρίσιμοι χώροι
  • Πρώτοι αριθμήσιμοι χώροι
  • Δεύτεροι αριθμήσιμοι χώροι
  • Χώροι Lindelof

 

Λέξεις κλειδιά: διαχωρίσιμος χώρος, πρώτος αριθμήσιμος χώρος, δεύτερος αριθμήσιμος χώρος, χώρος Lindelof

Λήμμα Urysohn

 

  • Το θεώρημα μετρικοποιησιμότητας Urysohn
  • Το θεώρημα Nagata-Smirnov-Bing

 

 

Λέξεις κλειδιά: μετρικοποιησιμότητα, λήμμα εμφύτευσης, θεώρημα Urysohn, θεώρημα Nagata-Smirnov-Bing, σ-διακριτή βάση

Συνεκτικότητα τοπολογικών χώρων

 

  • Συνεκτικοί χώροι
  • Τοπικά συνεκτικοί χώροι
  • Συνεκτικές συνιστώσες

 

 

Λέξεις κλειδιά: συνεκτικός χώρος, συνεκτικό σύνολο, μονοπάτι, κατά μονοπάτια συνεκτικός χώρος, συνεκτική συνιστώσα, τοπικά συνεκτικός χώρος

Συμπάγεια τοπολογικών χώρων

  • Συμπαγείς χώροι
  • Καρτεσιανά γινόμενα συμπαγών χώρων
  • Το θεώρημα Tychonoff

 

 

Λέξεις κλειδιά: συμπαγής χώρος, συμπαγές σύνολο, δίκτυο, συνεχής συνάρτηση, καρτεσιανό γινόμενο, λήμμα σωλήνα, προβολή, γράφημα συνάρτησης, θεώρημα Tychonoff

Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα
Επίπεδο: A-

Αρ. Επισκέψεων :  0
Αρ. Προβολών :  0

Ημερολόγιο

Ανακοινώσεις

  • - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -