Εισαγωγή στην Τοπολογία
Σοφοκλής Μερκουράκης
Η έννοια της τοπολογίας αποτελεί μία γενίκευση, κατά ουσιαστικό τρόπο, της έννοιας του μετρικού χώρου και δημιουργεί μία εξαιρετικά πλουσιότερη κλάση, αυτή των τοπολογικών χώρων.
Στην πρώτη ενότητα παρουσιάζονται οι ορισμοί των εννοιών και μερικά βασικά παραδείγματα τοπολογικών χώρων. Επίσης, εισάγονται οι έννοιες της βάσης και της υποβάσης μίας τοπολογίας καθώς και αυτές του εσωτερικού και της κλειστότητας ενός συνόλου.
Στη δεύτερη ενότητα η προσοχή μας μεταφέρεται από τις ολικές έννοιες, στη συμπεριφορά της τοπολογίας κοντά σε κάθε σημείο του χώρου.
Στην τρίτη ενότητα εξετάζεται κατά πόσο η έννοια της ακολουθίας είναι ικανή για το χαρακτηρισμό της κλειστότητας ενός συνόλου ή της συνέχειας μίας συνάρτησης, στην ευρύτερη κλάση των τοπολογικών χώρων.
Στην τέταρτη ενότητα περιγράφονται μέθοδοι κατασκευής νέων τοπολογικών χώρων από ήδη υπάρχοντες.
Στην πέμπτη ενότητα εξετάζεται μία σειρά από συνθήκες, οι οποίες καθιστούν την τοπολογία ενός χώρου ευνοϊκή ως προς τη διαχωριστικότητα του χώρου.
Στην έκτη ενότητα διερευνώνται οι συνθήκες για την περιγραφή ενός τοπολογικού χώρου, υπό μία έννοια πυκνότητας, με σκοπό την εύρεση συνθηκών που θα πρέπει να ικανοποιεί ένας τοπολογικός χώρος για να είναι μετρικοποιήσιμος.
Στην έβδομη ενότητα παρουσιάζονται τα δύο βασικά θεωρήματα που αφορούν τους μετρικοποιήσιμους τοπολογικούς χώρους.
Στην όγδοη ενότητα μελετάται η έννοια της συνεκτικότητας ενός τοπολογικού χώρου ενώ, τέλος, στην ένατη ενότητα ορίζεται η έννοια του συμπαγούς τοπολογικού χώρου και αποδεικνύεται το θέωρημα Tychonoff για το γινόμενο συμπαγών τοπολογικών χώρων.
Λιγότερα
Η έννοια της τοπολογίας αποτελεί μία γενίκευση, κατά ουσιαστικό τρόπο, της έννοιας του μετρικού χώρου και δημιουργεί μία εξαιρετικά πλουσιότερη κλάση, αυτή των τοπολογικών χώρων.
Στην πρώτη ενότητα παρουσιάζονται οι ορισμοί των εννοιών και μερικά βασικά παραδείγματα τοπολογικών χώρων. Επίσης, εισάγονται οι έννοιες της βάσης και της υποβάσης μίας τοπολογίας καθώς και αυτές του εσωτερικού και της κλειστότητας ενός συνόλου.
Στη δεύτερη ενότητα η προσοχή μας μεταφέρεται από τις ολικές έννοιες, στη συμπεριφορά της τοπολογίας κοντά σε κάθε σημείο του χώρου.
Στην τρίτη ενότητα εξετάζεται κατά πόσο η έννοια της ακολουθίας είναι ικανή για το χαρακτηρισμό της κλειστότητας ενός συνόλου ή της συνέχειας μίας συνάρτησης, στην ευρύτερη κλάση των τοπολογικών χώρων.
Στην τέταρτη ενότητα περιγράφονται μέθοδοι κατασκευής νέων τοπολογικών χώρων από ήδη υπάρχοντες.
Στην πέμπτη ενότητα εξετάζεται μία σειρά από συνθήκες, οι οποίες καθιστούν την τοπολογία ενός χώρου ευνοϊκή ως προς τη διαχωριστικότητα του χώρ
Η έννοια της τοπολογίας αποτελεί μία γενίκευση, κατά ουσιαστικό τρόπο, της έννοιας του μετρικού χώρου και δημιουργεί μία εξαιρετικά πλουσιότερη κλάση, αυτή των τοπολογικών χώρων.
Στην πρώτη ενότητα παρουσιάζονται οι ορισμοί των εννοιών και μερικά βασικά παραδείγματα τοπολογικών χώρων. Επίσης, εισάγονται οι έννοιες της βάσης και της υποβάσης μίας τοπολογίας καθώς και αυτές του εσωτερικού και της κλειστότητας ενός συνόλου.
Στη δεύτερη ενότητα η προσοχή μας μεταφέρεται από τις ολικές έννοιες, στη συμπεριφορά της τοπολογίας κοντά σε κάθε σημείο του χώρου.
Στην τρίτη ενότητα εξετάζεται κατά πόσο η έννοια της ακολουθίας είναι ικανή για το χαρακτηρισμό της κλειστότητας ενός συνόλου ή της συνέχειας μίας συνάρτησης, στην ευρύτερη κλάση των τοπολογικών χώρων.
Στην τέταρτη ενότητα περιγράφονται μέθοδοι κατασκευής νέων τοπολογικών χώρων από ήδη υπάρχοντες.
Στην πέμπτη ενότητα εξετάζεται μία σειρά από συνθήκες, οι οποίες καθιστούν την τοπολογία ενός χώρου ευνοϊκή ως προς τη διαχωριστικότητα του χώρ
Περίγραμμα
Περιεχόμενο μαθήματος
- Τοπολογικοί χώροι (ορισμοί των εννοιών : τοπολογικός χώρος και τοπολογία. Κύριες τοπολογικές έννοιες, βάσεις τοπολογίας και περιοχών, υπόχωροι τοπολογικού χώρου).
- Συνεχείς συναρτήσεις σε τοπολογικούς χώρους (σημειακή (τοπική) συνέχεια και (ολική) συνέχεια, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων, η τοπολογία γινόμενο, μετρικές τοπολογίες).
- Σύγκλιση (δίκτυα και υποδίκτυα, σύγκλιση ακολουθιών, σύγκλιση δικτύων, μελέτη της συνέχειας συναρτήσεων με τη βοήθεια δικτύων).
- Συμπάγεια (ορισμός του συμπαγούς τοπολογικού χώρου και βασικές ιδιότητες, συνέχεια συναρτήσεων και συμπάγεια, συμπαγείς μετρικοί χώροι).
- Συνεκτικότητα (ορισμός του συνεκτικού τοπολογικού χώρου και βασικές ιδιότητες, συνεκτικές συνιστώσες, συνέχεια συναρτήσεων και συνεκτικότητα).
- Αξιώματα αριθμήσιμου και διαχωριστικά αξιώματα. Τα θεωρήματα Urysohn και Tychonoff (το Λήμμα του Urysohn, το θεώρημα μετρικοποιησιμότητας του Urysohn, το θεώρημα του Tychonoff).
- Τοπολογίες χώρων συναρτήσεων (η τοπολογία της σημειακής σύγκλισης, η συμπαγής ανοικτή τοπολογία).
Διδάσκοντες
Σοφοκλής Μερκουράκης
Θέση : Καθηγητής
Ερευνητικά Ενδιαφέροντα : Χώροι Banach, Θεωρία Μέτρου, Γενική Τοπολογία, Uniform Distribution of Sequences
e-mail : smercour@math.uoa.gr
Τηλέφωνο : 210-7276318
Fax : 210-7276398
Γραφείο : 311
Μαθησιακοί στόχοι
- Εξοικείωση με τις έννοιες που αφορούν τους τοπολογικούς χώρους
- Μελέτη της συμπεριφοράς της τοπολογίας κοντά σε κάθε σημείο του χώρου
- Κατανόηση της ανάγκης για την εισαγωγή της έννοιας του δικτύου
- Εξοικείωση με την κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων από ήδη υπάρχοντες
- Μελέτη των συνθηκών διαχωριστικότητας και αριθμησιμότητας τοπολογικών χώρων
- Μελέτη των συνθηκών μετρικοποιησιμότητας τοπολογικών χώρων
- Μελέτη της συνεκτικότητας και της συμπάγειας τοπολογικών χώρων
Ομάδα στόχος
Προπτυχιακοί φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών, ενδιαφερόμενοι για τη θεματική περιοχή “Θεωρητικά Μαθηματικά – Μαθηματική Ανάλυση”.
Προτεινόμενα συγγράμματα
Σ.Νεγρεπόντης, Θ.Ζαχαριάδης, Ν.Καλαμίδας, Β.Φαρμάκη - “Γενική Τοπολογία και Συναρτησιακή Ανάλυση” (Εκδόσεις Αίθρα) ISBN : 960-7007-24-7
Βιβλιογραφία
- James Munkres – Topology
- Nicolas Bourbaki – General Topology
- Τοπολογικοί χώροι (ορισμοί των εννοιών : τοπολογικός χώρος και τοπολογία. Κύριες τοπολογικές έννοιες, βάσεις τοπολογίας και περιοχών, υπόχωροι τοπολογικού χώρου).
- Συνεχείς συναρτήσεις σε τοπολογικούς χώρους (σημειακή (τοπική) συνέχεια και (ολική) συνέχεια, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων, η τοπολογία γινόμενο, μετρικές τοπολογίες).
- Σύγκλιση (δίκτυα και υποδίκτυα, σύγκλιση ακολουθιών, σύγκλιση δικτύων, μελέτη της συνέχειας συναρτήσεων με τη βοήθεια δικτύων).
- Συμπάγεια (ορισμός του συμπαγούς τοπολογικού χώρου και βασικές ιδιότητες, συνέχεια συναρτήσεων και συμπάγεια, συμπαγείς μετρικοί χώροι).
- Συνεκτικότητα (ορισμός του συνεκτικού τοπολογικού χώρου και βασικές ιδιότητες, συνεκτικές συνιστώσες, συνέχεια συναρτήσεων και συνεκτικότητα).
- Αξιώματα αριθμήσιμου και διαχωριστικά αξιώματα. Τα θεωρήματα Urysohn και Tychonoff (το Λήμμα του Urysohn, το θεώρημα μετρικοποιησιμότητας του Urysohn, το θεώρημα του Tychonoff).
- Τοπολογίες χώρων συναρτήσεων (η τοπολογία της σημειακής σύγκλισης, η συμπαγής ανοικτή τοπολογία).
Σοφοκλής Μερκουράκης
Θέση : Καθηγητής
Ερευνητικά Ενδιαφέροντα : Χώροι Banach, Θεωρία Μέτρου, Γενική Τοπολογία, Uniform Distribution of Sequences
e-mail : smercour@math.uoa.gr
Τηλέφωνο : 210-7276318
Fax : 210-7276398
Γραφείο : 311
- Εξοικείωση με τις έννοιες που αφορούν τους τοπολογικούς χώρους
- Μελέτη της συμπεριφοράς της τοπολογίας κοντά σε κάθε σημείο του χώρου
- Κατανόηση της ανάγκης για την εισαγωγή της έννοιας του δικτύου
- Εξοικείωση με την κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων από ήδη υπάρχοντες
- Μελέτη των συνθηκών διαχωριστικότητας και αριθμησιμότητας τοπολογικών χώρων
- Μελέτη των συνθηκών μετρικοποιησιμότητας τοπολογικών χώρων
- Μελέτη της συνεκτικότητας και της συμπάγειας τοπολογικών χώρων
Προπτυχιακοί φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών, ενδιαφερόμενοι για τη θεματική περιοχή “Θεωρητικά Μαθηματικά – Μαθηματική Ανάλυση”.
Σ.Νεγρεπόντης, Θ.Ζαχαριάδης, Ν.Καλαμίδας, Β.Φαρμάκη - “Γενική Τοπολογία και Συναρτησιακή Ανάλυση” (Εκδόσεις Αίθρα) ISBN : 960-7007-24-7
- James Munkres – Topology
- Nicolas Bourbaki – General Topology
- Ανοικτά σύνολα
- Βάσεις και υποβάσεις
- Κλειστά σύνολα
- Εσωτερικό, κλειστότητα και σύνορο συνόλου
Λέξεις κλειδιά: ανοικτό σύνολο, βάση, υποβάση, κλειστό σύνολο, εσωτερικό, κλειστότητα, σημείο συσσώρευσης, σύνορο
- Περιοχές και βάσεις περιοχών
- Φίλτρα και υπερφίλτρα
Λέξεις κλειδιά: περιοχή, βάση περιοχών, φίλτρο, υπερφίλτρο
- Σύγκλιση δικτύων
- Συνέχεια
- Σύγκλιση κατά υπερφίλτρο
Λέξεις κλειδιά: ακολουθία, κατευθυνόμενο σύνολο, δίκτυο, ομοτελικό σύνολο, υποδίκτυο, σύγκλιση, οριακό σημείο, συνέχεια, ανοικτή συνάρτηση, κλειστή συνάρτηση, ομοιομορφισμός, υπερφίλτρο, όριο Banach
- Υπόχωροι τοπολογικών χώρων
- Ασθενής τοπολογία ως προς μία οικογένεια συναρτήσεων
- Τοπολογία γινόμενο
- Τοπολογία πηλίκο
Λέξεις κλειδιά: υπόχωρος, ασθενής τοπολογία, οικογένεια συναρτήσεων, τοπολογία γινόμενο, τοπολογία πηλίκο
- Χώροι Τ1
- Χώροι Hausdorff
- Κανονικοί χώροι
- Φυσιολογικοί χώροι
- Τελείως κανονικοί χώροι
Λέξεις κλειδιά: χώρος Τ1, χώρος Hausdorff, κανονικός χώρος, φυσιολογικός χώρος, τελείως κανονικός χώρος, λήμμα Urysohn
- Διαχωρίσιμοι χώροι
- Πρώτοι αριθμήσιμοι χώροι
- Δεύτεροι αριθμήσιμοι χώροι
- Χώροι Lindelof
Λέξεις κλειδιά: διαχωρίσιμος χώρος, πρώτος αριθμήσιμος χώρος, δεύτερος αριθμήσιμος χώρος, χώρος Lindelof
- Το θεώρημα μετρικοποιησιμότητας Urysohn
- Το θεώρημα Nagata-Smirnov-Bing
Λέξεις κλειδιά: μετρικοποιησιμότητα, λήμμα εμφύτευσης, θεώρημα Urysohn, θεώρημα Nagata-Smirnov-Bing, σ-διακριτή βάση
- Συνεκτικοί χώροι
- Τοπικά συνεκτικοί χώροι
- Συνεκτικές συνιστώσες
Λέξεις κλειδιά: συνεκτικός χώρος, συνεκτικό σύνολο, μονοπάτι, κατά μονοπάτια συνεκτικός χώρος, συνεκτική συνιστώσα, τοπικά συνεκτικός χώρος
- Συμπαγείς χώροι
- Καρτεσιανά γινόμενα συμπαγών χώρων
- Το θεώρημα Tychonoff
Λέξεις κλειδιά: συμπαγής χώρος, συμπαγές σύνολο, δίκτυο, συνεχής συνάρτηση, καρτεσιανό γινόμενο, λήμμα σωλήνα, προβολή, γράφημα συνάρτησης, θεώρημα Tychonoff
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 0
Αρ. Προβολών : 0
Ημερολόγιο
Ανακοινώσεις
- - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -
