Πιθανότητες Ι

Το μάθημα στοχεύει στην ανάπτυξη βασικών δεξιοτήτων για τη μοντελοποίηση και τη μαθηματική ανάλυση φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται τυχαιότητα. Η δομή του έχει ως εξής:

• Δειγματικός χώρος και ενδεχόμενα. Αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων.

• Πεπερασμένοι δειγματικοί χώροι και κλασική πιθανότητα.

• Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία.

• Τυχαία μεταβλητή και συνάρτηση κατανομής.

• Διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Μέση τιμή και διασπορά.

• Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Μέση τιμή και διασπορά. Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής.

• Ροπές τυχαίων μεταβλητών και ιδιαίτερα μέση τιμή και διασπορά.

• Μονοδιάστατες διακριτές κατανομές και ιδιαίτερα: ομοιόμορφη διακριτή κατανομή, κατανομή Bernoulli Και διωνυμική κατανομή, γεωμετρική κατανομή και αρνητική διωνυμική κατανομή, κατανομή Poisson, υπεργεωμετρική κατανομή.

• Μονοδιάστατες συνεχείς κατανομές και ιδιαίτερα: ομοιόμορφη συνεχής κατανομή, εκθετική κατανομή και κατανομή Γάμμα, κανονική κατανομή.

• Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές και συναρτήσεις κατανομές. Πολυδιάστατες διακριτές και συνεχείς κατανομές.

• Δεσμευμένες κατανομές και στοχαστική ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών.

• Δεσμευμένη μέση τιμή και θεώρημα διπλής μέσης τιμής.

• Μετασχηματισμοί: πιθανογεννήτριες, ροπογεννήτριες, χαρακτηριστικές συναρτήσεις.

• Νόμοι μεγάλων αριθμών.

• Κεντρικό οριακό θεώρημα και εφαρμογές.

Σκοπός του μαθήματος είναι η ανάπτυξη βασικών δεξιοτήτων για τη μοντελοποίηση και τη μαθηματική ανάλυση φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται τυχαιότητα.

Στο τέλος του μαθήματος ο εκπαιδευόμενος-φοιτητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

• να μοντελοποιεί διαδικασίες και καταστάσεις που εμφανίζονται στην καθημερινή πραγματικότητα ή σε άλλες επιστημονικές περιοχές στο πλαίσιο της Θεωρίας Πιθανοτήτων

• να κατανοεί τις βασικές έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων, όπως την έννοια του δειγματικού σημείου, του δειγματικού χώρου, του ενδεχομένου, της πιθανότητας, της δεσμευμένης πιθανότητας, της τυχαίας μεταβλητής κλπ.

• να μπορεί να κάνει βασικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων, μέσων τιμών, διασπορών κλπ. σε προβλήματα που εμπεριέχουν τυχαιότητα

• να χρησιμοποιεί επιχειρήματα δέσμευσης για τους υπολογισμούς πιθανοτήτων, μέσων τιμών, διασπορών κλπ. σε προβλήματα που εμπεριέχουν τυχαιότητα

• να χρησιμοποιεί τις τεχνικές των μετασχηματισμών (πιθανογεννητριών και/ή ροπογεννητριών και /ή χαρακτηριστικών συναρτήσεων) για τη μελέτη προχωρημένων προβλημάτων που εμπεριέχουν τυχαιότητα

• να αντιλαμβάνεται διαισθητικά τα βασικά οριακά θεωρήματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων (νόμοι των μεγάλων αριθμών, κεντρικό οριακό θεώρημα) και να μπορεί να τα χρησιμοποιεί σε προσεγγιστικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων.

Είναι απαραίτητη η προγενέστερη επαφή του φοιτητή με τις βασικές έννοιες και τεχνικές Απειροστικού Λογισμού μιας και πολλών μεταβλητών. Ειδικότερα υπολογιστικά θέματα όπως υπολογισμοί ολοκληρωμάτων και αθροισμάτων θα πρέπει να είναι οικεία στους φοιτητές. Η επαφή με κάποιο μάθημα Συνδυαστικής, αν και όχι απαραίτητη, είναι επιθυμητή.

• Εξετάσεις (2 ώρες και 30 λεπτά)

Διδασκαλία καθ΄ έδρας – Ασκήσεις

1. Ross, S. (2011) Βασικές Αρχές Θεωρίας Πιθανοτήτων. Εκδόσεις Κλειδάριθμος, Αθήνα.

2. Μπερτσεκάς, Δ. και Τσιτσικλής, Γ. (2013) Εισαγωγή στις Πιθανότητες με Στοιχεία Στατιστικής. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη.

3. Hoel, Port και Stone (2005) Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο Κρήτης.

4. Χαραλαμπίδης, Χ. (2009) Θεωρία Πιθανοτήτων και Εφαρμογές. Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα.

5. Κούτρας, Μ. (2012) Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων και Εφαρμογές, Εκδόσεις Σταμούλη, Πειραιάς.

Προπτυχιακοί φοιτητές Τμημάτων Μαθηματικών, Στατιστικής, Πληροφορικής και Πολυτεχνικών Σχολών

Αντώνης Οικονόμου

Αναπληρωτής Καθηγητής

Καποδιαστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Τμήμα Μαθηματικών, Τομέας Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας

Ο Αντώνης Οικονόμου είναι μέλος ΔΕΠ στον Τομέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών από το 2001.

Σπουδές: Πτυχίο Μαθηματικών Πανεπιστημίου Αθηνών (1993), Μεταπτυχιακό στα Θεωρητικά Μαθηματικά UCLA (1994), Μεταπτυχιακό στη Στατιστική και Επιχειρησιακή Έρευνα Πανεπιστημίου Αθηνών (1997) και Διδακτορικό στα Μαθηματικά Πανεπιστημίου Αθηνών (1998). Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Πιθανότητες, Επιχειρησιακή Έρευνα, Μαθηματική Βιολογία. Ειδικότερα, προβλήματα υπολογισμών, στοχαστικών συγκρίσεων και βελτιστοποίησης σε στοχαστικές διαδικασίες με εφαρμογές στη θεωρία συστημάτων εξυπηρέτησης (θεωρία ουρών) και στα στοχαστικά πρότυπα εξέλιξης πληθυσμών.

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ

Βιβλία- κείμενα (Textbooks)

• • Συγγράμματα:

1. Ross, S. (2011) Βασικές Αρχές Θεωρίας Πιθανοτήτων. Εκδόσεις Κλειδάριθμος, Αθήνα.

2. Μπερτσεκάς, Δ. και Τσιτσικλής, Γ. (2013) Εισαγωγή στις Πιθανότητες με Στοιχεία Στατιστικής. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη.

3. Hoel, Port και Stone (2005) Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο Κρήτης.

4. Χαραλαμπίδης, Χ. (2009) Θεωρία Πιθανοτήτων και Εφαρμογές. Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα.

5. Κούτρας, Μ. (2012) Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων και Εφαρμογές, Εκδόσεις Σταμούλη, Πειραιάς.

• • Βιβλιογραφία:

1. Tijms, H. (2007) Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press.

2. Grimmett, G. and Stirzaker, D. (2007) One Thousand Exercises in Probability. Oxford.

• Online readings

  • Πηγές στο Διαδίκτυο:

1. http://probweb.berkeley.edu/

2. http://web2.uwindsor.ca/math/hlynka/qonline.html#TAG5

• • Πηγές στη βιβλιοθήκη του ιδρύματος:

1. Feller, W. (1971) An Introduction to Probability Theory and its Applications.

2. Grimmett, G.R. and Stirzaker, D.R. (1997) Probability and Random Processes: Problems and Solutions.

• • Άλλα σχετικά ανοικτά μαθήματα άλλων ιδρυμάτων εσωτερικού ή εξωτερικού:

1. Probabilistic Systems Analysis and Applied Probability MITOpenCourseware:

http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-041-probabilistic-systems-analysis-and-applied-probability-fall-2010/index.htm