Μαθηματικά Ι

Ευάγγελος Μελάς

Περιγραφή

Σκοπός του μαθήματος είναι η ανάπτυξη βασικών εννοιών του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού για συναρτήσεις μιας μεταβλητής και η σύνδεσή τους με την Οικονομική Επιστήμη. Επίσης, η εισαγωγή στις αρχικές έννοιες της διαφόρισης συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.

Περίγραμμα

Περιεχόμενο μαθήματος

ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΔΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Σύνολα, Πράξεις μεταξύ συνόλων, Ιδιότητες των πράξεων μεταξύ συνόλων, Καρτεσιανά γινόμενα δύο ή περισσοτέρων συνόλων, Διμελείς σχέσεις μεταξύ συνόλων, Είδη διμελών σχέσεων σε ένα σύνολο, Σχέσεις Ισοδυναμίας και Σχέσεις Διατάξεως

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Πολυώνυμα, εύρεση ριζών πολυωνύμων, διαίρεση πολυωνύμων, παραγοντοποίηση πολυωνύμων, πολυωνυμικές εξισώσεις, εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση, ορισμός της αντίστροφης μιας συνάρτησης, εύρεση των αντίστροφων συναρτήσεων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, βασικές οικονομικές συναρτήσεις και ερμηνεία τους

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης, ορισμός της πλευρικής παραγώγου μιας συνάρτησης, γεωμετρική ερμηνεία παραγώγου, εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας σε δεδομένο σημείο της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης, κανόνες παραγώγισης, παράγωγοι βασικών συναρτήσεων, παραδείγματα, κανόνας του Leibniz για την εύρεση παραγώγου ν-στής τάξεως του γινομένου δύο συναρτήσεων, εύρεση παραγώγων σύνθετων συναρτήσεων, ορισμός της ελαστικότητας μιας συνάρτησης και χρησιμότητα της έννοιας, ιδιότητες της ελαστικότητας μιας συνάρτησης, παραδείγματα υπολογισμού της ελαστικότητας συναρτήσεων, διαφορικό μιας συνάρτησης και γεωμετρική του ερμηνεία, προσεγγιστικός υπολογισμός των τιμών συναρτήσεων με τη χρήση διαφορικού, εύρεση των παραγώγων των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, εύρεση παραγώγων συναρτήσεων που δίνονται σε πεπλεγμένη μορφή, παραδείγματα

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισμός αόριστου ολοκληρώματος συνάρτησης, ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος, αόριστα ολοκληρώματα βασικών συναρτήσεων, υπολογισμός ολοκληρωμάτων με τη μέθοδο της αντικατάστασης και με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκληρωσης, παραδείγματα, υπολογισμός αόριστων ολοκληρωμάτων μέσω της συνάρτησης τοξεφx, ανάλυση σε άθροισμα απλών κλασμάτων, ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος συνάρτησης κατά Riemann, ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος, το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, παραδείγματα υπολογισμού του εμβαδού περιοχών του επιπέδου με τη χρήση ορισμένων ολοκληρωμάτων

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΠΡΩΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ

Ορισμός γενικευμένων ολοκληρωμάτων πρώτου είδους, παραδείγματα υπολογισμού γενικευμένων ολοκληρωμάτων πρώτου είδους

Μαθησιακοί στόχοι

Μετά το πέρας του μαθήματος αναμένεται ο φοιτητής να μπορεί:

Να αποδεικνύει απλές σχέσεις μεταξύ συνόλων.
Να πιστοποιεί πότε μια διμελής σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας και πότε είναι σχέση διάταξης.
Να βρίσκει τις ρίζες πολυωνύμων σε απλές περιπτώσεις, να παραγοντοποεί πολυώνυμα, να λύνει πολυωνυμικές εξισώσεις.
Na κάνει τις γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων.
Να ορίζει τις βασικές οικονομικές συναρτήσεις και να κατανοεί την ανάγκη εισαγωγής τους και τη χρησιμότητά τους.
Να ορίζει την παράγωγο μιας συνάρτησης και να κατανοεί την γεωμετρική της ερμηνεία.
Να υπολογίζει τις παραγώγους συναρτήσεων, σύνθετων συναρτήσεων, και συναρτήσεων που είναι σε πεπλεγμένη μορφή.
Να ορίζει και να υπολογίζει το διαφορικό μιας συνάρτησης και να κατανοεί την γεωμετρική του ερμηνεία.
Να υπολογίζει προσεγγιστικά την τιμή μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας το διαφορικό της.
Να ορίζει την ελαστικότητα μιας συνάρτησης, να κατανοεί την σημασία της, και να υπολογίζει την ελαστικότητα συναρτήσεων, οικονομικών και άλλων.
Να ορίζει το αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης, και να υπολογίζει το αόριστο ολοκλήρωμα συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντικατάστασης και τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκληρωσης.
Να υπολογίζει το αόριστο ολοκλήρωμα συναρτήσεων μεσω της της συνάρτησης τοξεφx όπως και το αόριστο ολοκλήρωμα ρητών συναρτήσεων.
Να υπολογίζει το ορισμένο ολοκλήρωμα συναρτήσεων και το εμβαδό περιοχών του επιπέδου χρησιμοποιώντας ορισμένα ολοκληρώματα.
Να υπολογίζει γενικευμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους.

Διδάσκοντες

Επώνυμο	Μελάς
Όνομα	Ευάγγελος
Βασικές Σπουδές	Πτυχίο Φυσικών Επιστημών από το Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Μεταπτυχιακές Σπουδές	ΜSc στο θεματικό αντικείμενο Κβαντικά Πεδία και Θεμελιώδεις Δυνάμεις από το Imperial College
Διδακτορικό	Στο θεματικό αντικείμενο Αναπαραστάσεις Απειροδιάστατων Ομάδων Lie από το QMW, University of London, Dept. of Mathematical Sciences

Προτεινόμενα συγγράμματα

Α.Σ. Κορκοτσίδης, Μαθηματικά Οικονομικής Ανάλυσης, Τόμος Α’. Εκδ. Παπαζήση.
Στ. Κώτσιος, Ασκήσεις Μαθηματικών για Οικονομολόγους, Τόμος Α. Εκδ. Κριτική.
Chiang, A.C. Fundamental methods of Mathematical Economics, 3rd edition. McGraw Hill, NY Επίσης, στην Ελληνική.

Ομάδα στόχος

Υποψήφιοι και εν ενεργεία φοιτητές/φοιτήτριες, και απόφοιτοι Τμημάτων Μηχανολόγων, Μηχανικών, Μαθηματικών, Φυσικής, Χημείας, και Βιολογίας, Πολυτεχνείων, Πολυτεχνικών και Πανεπιστημιακών Σχολών.

Ενδιαφερόμενοι για τη θεματική περιοχή Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός.