Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα

Παρουσιάζεται η ανάλυση σφάλματος στον υπολογισμό  της θεμελιώδους πράξης του εσωτερικού γινομένου δύο n-διάστατων διανυσμάτων. Ορίζεται η εκ των προτέρων(forward) και η εκ των υστέρων(backward) ανάλυση σφάλματος, καθώς επίσης και οι έννοιες ενός καλής κατάστασης(well-conditioned) προβλήματος και ενός εκ των υστέρων (backward) ευσταθούς αλγορίθμου.

Οι μέθοδοι Απαλοιφής 1) του Gauss, 2) του Jordan(υπό μορφή ακολουθίας πινάκων). Μερική οδήγηση(χωρίς φυσική αντιμετάθεση).

Η LU μέθοδος Τριγωνικής Διαχώρισης (ή Παραγοντοποίησης)(υπό μορφή πινάκων). Μερική οδήγηση(χωρίς φυσική αντιμετάθεση). Παραλλαγές της LU μεθόδου(LDU παραγοντοποίηση: Crout, Doolittle, Choleskι. Επίλυση ενός τριδιαγωνίου γραμμικού συστήματος με την μέθοδο LU(μορφή Crout).

Ασταθή Συστήματα. Αριθμός Συνθήκης(ή δείκτης κατάστασης) cond(A) ενός πίνακα. Ιδιότητες του cond(A). Κακής κατάστασης (Ill conditioned) πίνακες. Σχέση του αριθμού συνθήκης και της ακρίβειας της υπολογιζόμενης λύσης ενός γραμμικού συστήματος.

Βασικές  Επαναληπτικές μέθοδοι: (Συνθήκη Σύγκλισης και βέλτιστη τιμή της παραμέτρου τ). Επαναληπτική μέθοδος ESOR (Επιταχυντική SOR): υπό μορφή Πινάκων, υπό μορφή συνιστωσών. 

Επαναληπτικές μέθοδοι δύο επιπέδων: Συμμετρική SOR μέθοδος(SSOR): υπό μορφή Πινάκων, υπό μορφή συνιστωσών.  Σχήμα του Niethammer. Επαναληπτική μέθοδος PSD(Preconditioned Simultaneous Displacement): υπό μορφή Πινάκων, υπό μορφή συνιστωσών.

Ημιεπαναληπτικές μέθοδοι:  Μέθοδοι μεταβλητής παρεκτροπής(Variable Extrapolation). Μέθοδος Δευτέρου Βαθμού(Second-Degree (SD). Μέθοδος των Συζυγών Κλίσεων (Conjugate Gradient)(CG}): Mέθοδος της απότομης καθόδου (Steepest Descent). Η Μέθοδος των Συζυγών Κλίσεων με προρύθμιση (Precondiotioned Conjugate Gradient(PCG)).

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο και Συνοδεύων πίνακας του Frobenius. Η μέθοδος των δυνάμεων. Η αντίστροφη μέθοδος των δυνάμεων. Τεχνικές Επιτάχυνσης της μεθόδου των δυνάμεων. Υπολογισμός των υπερεχουσών ιδιοτιμών (μέθοδος υποβιβασμού).

Μέθοδοι Jacobi, Givens, Householder. Υπολογισμός του Ιδιοσυστήματος ενός Συμμετρικού Τριδιαγώνιου Πίνακα.

Μετασχηματισμοί ομοιότητας (επίδραση πίνακα σε διάνυσμα): Επίδραση πίνακα Householder P σε διάνυσμα x.  Επίδραση πίνακα στροφής του Givens J σε διάνυσμα x. Η μέθοδος παραγοντοποίησης QR με τη χρήση μετασχηματισμών 1) Householder και 2) Givens. Μέθοδος Lanczos για Συμμετρικούς Πίνακες. 

Διάσπαση ενός πίνακα Α σε Ιδιάζουσες Ιδιοτιμές (Singular Value Decomposition) (SVD).

Γραμμικό Πρόβλημα Ελαχίστων Τετραγώνων: Αριθμητική Επίλυση με 1) Κανονικές Εξισώσεις, 2) Παραγοντοποίηση QR και 3) Διάσπαση SVD.

Εντοπισμός Ριζών Πολυωνύμου:  Βασικές Προτάσεις, Aλυσίδα του Sturm, Φράγματα Ριζών. Μέθοδοι Bernoulli, QD (Πηλίκων-Διαφορών), Bairstow, Muller.

Μη Γραμμικά Συστήματα: Μέθοδος Απαλοιφής, Γραφική μέθοδος, Επαναλήπτικές μέθοδοι (ολικού και μερικού βήματος). Επαναληπτική μέθοδος Newton-Raphson (NR).

Προσεγγιστικοί τύποι: Το δίλημμα στην επιλογή μεγέθους βήματος,  Βελτιωτικός τύπος σφάλματος του Richardson. Προσεγγιστικοί τύποι υψηλότερης τάξης για τις k-τάξης παραγώγους μιας συνάρτησης f(x).

Αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων:  1) Πρόβλημα Αρχικών Τιμών 1ης τάξης:  Μέθοδος Euler, μέθοδoς Taylor. Μέθοδοι Runge- Kutta (RK)(4ης τάξης), Μέθοδοι Πολλαπλού Βήματος (Πρόβλεψης-Διόρθωσης (PC) του Adams)  Σύγκριση των μεθόδων RK και PC 2) Πρόβλημα Συνορικών Τιμών 2ης τάξης: Μέθοδος Σκόπευσης (ή βολής), Μέθοδος των Πεπερασμένων Διαφορών.      

Εισαγωγή στην Αριθμητική Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων(ΜΔΕ): 1ης ταξης ΜΔΕ, 2ης τάξης ΜΔΕ (ταξινόμηση), Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες, Πεπερασμένες Διαφορές (με τη χρήση Τελεστών).