Αριθμητική Ανάλυση
Νικόλαος Μισυρλής
Αριθµητική Ανάλυση (ή Υπολογιστικά Μαθηµατικά)
- Είναι η κοινή περιοχή των Μαθηµατικών και της Πληροφορικής.
- Έχει σαν βασικό σκοπό την σχεδίαση και ανάλυση αριθµητικών αλγορίθµων για την επίλυση επιστηµονικών προβληµάτων.
- Τα προβλήµατα αυτά προκύπτουν από την µαθηµατική µοντελοποίηση αντιστοίχων προβληµάτων του πραγµατικού κόσµου και ενδιαφέρουν τις Επιστήµες (Φυσική, Οικονοµία, Κοινωνία, Ιατρική, Βιολογία, Επιχειρησιακή Έρευνα, κ.α.) και την Τεχνολογία.
- Όσο αφορά την Πληροφορική η Αριθµητική Ανάλυση αποτελεί ένα αυτοδύναµο κλάδο της.
- Το πρόβληµα της εύρεσης του βαθµού µιας σελίδας στο διαδίκτυο (page rank problem) καταλήγει στον υπολογισµό ενός ιδιοδιανύσµατος µε τη χρήση της µεθόδου των δυνάµεων.
- Η εύρεση του χρωµατικού αριθµού ενός γραφήµατος συνδέεται, όπως αποδείχτηκε πρόσφατα, µε τη ϕασµατική ακτίνα του πίνακα γειτνίασης, η οποία επίσης υπολογίζεται µε τη µέθοδο των δυνάµεων.
- Η συνεκτικότητα ενός γραφήµατος αποτελεί σηµαντική ιδιότητα, η οποία είναι ισοδύναµη µε το βαθµό (rank) του πίνακα πρόσπτωσης (incident matrix).
Αριθµητική Ανάλυση (ή Υπολογιστικά Μαθηµατικά)
- Είναι η κοινή περιοχή των Μαθηµατικών και της Πληροφορικής.
- Έχει σαν βασικό σκοπό την σχεδίαση και ανάλυση αριθµητικών αλγορίθµων για την επίλυση επιστηµονικών προβληµάτων.
- Τα προβλήµατα αυτά προκύπτουν από την µαθηµατική µοντελοποίηση αντιστοίχων προβληµάτων του πραγµατικού κόσµου και ενδιαφέρουν τις Επιστήµες (Φυσική, Οικονοµία, Κοινωνία, Ιατρική, Βιολογία, Επιχειρησιακή Έρευνα, κ.α.) και την Τεχνολογία.
- Όσο αφορά την Πληροφορική η Αριθµητική Ανάλυση αποτελεί ένα αυτοδύναµο κλάδο της.
- Το πρόβληµα της εύρεσης του βαθµού µιας σελίδας στο διαδίκτυο (page rank problem) καταλήγει στον υπολογισµό ενός ιδιοδιανύσµατος µε τη χρήση της µεθόδου των δυνάµεων.
- Η εύρεση του χρωµατικού αριθµού ενός γραφήµατος συνδέεται, όπως αποδείχτηκε πρόσφατα, µε τη ϕασµατική ακτίνα του πίνακα γειτνίασης, η οποία επίσης υπολογίζεται µε τη µέθοδο των δυνάµεων.
- Η συνεκτικότητα ενός γραφήµατος αποτελεί σηµαντική ιδιότητα, η οποία είναι ισοδύναµη µε το βαθµό (rank) το
Αριθµητική Ανάλυση (ή Υπολογιστικά Μαθηµατικά)
- Είναι η κοινή περιοχή των Μαθηµατικών και της Πληροφορικής.
- Έχει σαν βασικό σκοπό την σχεδίαση και ανάλυση αριθµητικών αλγορίθµων για την επίλυση επιστηµονικών προβληµάτων.
- Τα προβλήµατα αυτά προκύπτουν από την µαθηµατική µοντελοποίηση αντιστοίχων προβληµάτων του πραγµατικού κόσµου και ενδιαφέρουν τις Επιστήµες (Φυσική, Οικονοµία, Κοινωνία, Ιατρική, Βιολογία, Επιχειρησιακή Έρευνα, κ.α.) και την Τεχνολογία.
- Όσο αφορά την Πληροφορική η Αριθµητική Ανάλυση αποτελεί ένα αυτοδύναµο κλάδο της.
- Το πρόβληµα της εύρεσης του βαθµού µιας σελίδας στο διαδίκτυο (page rank problem) καταλήγει στον υπολογισµό ενός ιδιοδιανύσµατος µε τη χρήση της µεθόδου των δυνάµεων.
- Η εύρεση του χρωµατικού αριθµού ενός γραφήµατος συνδέεται, όπως αποδείχτηκε πρόσφατα, µε τη ϕασµατική ακτίνα του πίνακα γειτνίασης, η οποία επίσης υπολογίζεται µε τη µέθοδο των δυνάµεων.
- Η συνεκτικότητα ενός γραφήµατος αποτελεί σηµαντική ιδιότητα, η οποία είναι ισοδύναµη µε το βαθµό (rank) το
Περίγραμμα
Περιεχόμενο μαθήματος
Το μάθημα αυτό έχει σαν σκοπό τη διδασκαλία βασικών αριθμητικών αλγορίθμων. Οι κυριότερες περιοχές που μελετά το μάθημα είναι:
- Σφάλματα στους Αριθμητικούς Υπολογισμούς
- Αριθμητική επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων (μέθοδος σταθερού σημείου, Newton-Raphson)
- Αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων (άμεσοι και επαναληπτικοί αλγόριθμοι)
- Αριθμητικοί Αλγόριθμοι για τον υπολογισμό Ιδιοτιμών (μέθοδος των δυνάμεων)
- Προσέγγιση συναρτήσεων (Παρεμβολή, Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων)
- Αριθμητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση
- Αριθμητική επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων (εισαγωγή, βασικές μέθοδοι)
Μαθησιακοί στόχοι
Σκοπός του μαθήματος
- Ανάπτυξη και μελέτη των βασικών αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση επιστημονικών προβλημάτων.
- Μελέτη σφάλματος (ακρίβεια λύσεων).
Με την ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα γνωρίζουν
- την ανάπτυξη και υλοποίηση αριθμητικών αλγορίθμων για την επίλυση επιστημονικών προβλημάτων,
- την σύγχρονη μεθοδολογία αξιολόγησης και σύγκρισης της επίδοσης αριθμητικών αλγορίθμων,
- τις σύγχρονες τάσεις στην περιοχή των Επιστημονικών Υπολογισμών,
- την σύγχρονη ανάπτυξη επιστημονικού λογισμικού για την προσομοίωση προβλημάτων του φυσικού μας κόσμου.
Προτεινόμενα συγγράμματα
- Ν. Μισυρλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση : Μια αλγοριθμική προσέγγιση, αυτο-έκδοση, Αθήνα, 2009.
- Γ. Δ. Ακρίβης και Β.Α Δουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, ΙΤΕ-Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1998
Προαπαιτούμενα
- Ανάλυση Ι
- Γραμμική Άλγεβρα
Ομάδα στόχος
Προπτυχιακοί φοιτητές του τμήματος Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διδάσκοντες
Νικόλαος Μισυρλής
Βαθμίδα: Καθηγητής
Τομέας: Θεωρητική Πληροφορική
Τμήμα: Πληροροφικής και Τηλεπικοινωνιών
Το μάθημα αυτό έχει σαν σκοπό τη διδασκαλία βασικών αριθμητικών αλγορίθμων. Οι κυριότερες περιοχές που μελετά το μάθημα είναι:
- Σφάλματα στους Αριθμητικούς Υπολογισμούς
- Αριθμητική επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων (μέθοδος σταθερού σημείου, Newton-Raphson)
- Αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων (άμεσοι και επαναληπτικοί αλγόριθμοι)
- Αριθμητικοί Αλγόριθμοι για τον υπολογισμό Ιδιοτιμών (μέθοδος των δυνάμεων)
- Προσέγγιση συναρτήσεων (Παρεμβολή, Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων)
- Αριθμητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση
- Αριθμητική επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων (εισαγωγή, βασικές μέθοδοι)
Σκοπός του μαθήματος
- Ανάπτυξη και μελέτη των βασικών αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση επιστημονικών προβλημάτων.
- Μελέτη σφάλματος (ακρίβεια λύσεων).
Με την ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα γνωρίζουν
- την ανάπτυξη και υλοποίηση αριθμητικών αλγορίθμων για την επίλυση επιστημονικών προβλημάτων,
- την σύγχρονη μεθοδολογία αξιολόγησης και σύγκρισης της επίδοσης αριθμητικών αλγορίθμων,
- τις σύγχρονες τάσεις στην περιοχή των Επιστημονικών Υπολογισμών,
- την σύγχρονη ανάπτυξη επιστημονικού λογισμικού για την προσομοίωση προβλημάτων του φυσικού μας κόσμου.
- Ν. Μισυρλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση : Μια αλγοριθμική προσέγγιση, αυτο-έκδοση, Αθήνα, 2009.
- Γ. Δ. Ακρίβης και Β.Α Δουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, ΙΤΕ-Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1998
- Ανάλυση Ι
- Γραμμική Άλγεβρα
Προπτυχιακοί φοιτητές του τμήματος Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Νικόλαος Μισυρλής
Βαθμίδα: Καθηγητής
Τομέας: Θεωρητική Πληροφορική
Τμήμα: Πληροροφικής και Τηλεπικοινωνιών
Παράσταση αριθμών στη μνήμη, σφάλμα στρογγύλευσης, διαδιδόμενο σφάλμα.
Λέξεις κλειδιά: Απόλυτο σφάλμα, σχετικό σφάλμα, αριθμοί μηχανής, στρογγύλευση, σημαντικά ψηφία.
Η μέθοδος της διχοτόμησης, η μέθοδος της Εσφαλμένης Θέσης, το πρόβλημα του σταθερού σημείου, η μέθοδος Νewton Rapshon, η μέθοδος της τέμνουσας, επιτάχυνση της σύγκλισης, το σχήμα του Horner.
Λέξεις κλειδιά: Ρίζα εξίσωσης , διχοτόμηση, εσφαλμένη θέση, επαναλήψεις, σταθερό σημείο, σύγκλιση, Νewton Rapshon, τέμνουσα, Aitken, Horner.
Η μέθοδος απαλοιφής του Gauss, η μέθοδος απαλοιφής του Jordan, υπολογιστική πολυπλοκότητα, λύση τρισδιαγώνιου συστήματος, norms διανυσμάτων και πινάκων, ασταθή συστήματα, βασικές επαναληπτικές μέθοδοι.
Λέξεις κλειδιά: Απαλοιφή, γραμμικό σύστημα, τριγωνικό σύστημα, οδηγό στοιχείο, οδήγηση, διαγώνιο σύστημα, πολυπλοκότητα, τρισδιαγώνιο σύστημα, norms, ασταθή συστήματα, αραιός πίνακας, επαναληπτικές μεθοδοι, επαναληπτικός πίνακας, σύγκλιση, Jacobi, Gauss- Seidel, SOR.
Η μέθοδος των δυνάμεων, τεχνικές επιτάχυνσης της μεθόδου των δυνάμεων, η αντίστροφη μέθοδος των δυνάμεων.
Λέξεις κλειδιά: Iδιοτιμή, ιδιοδιάνυσμα, μέθοδος δυνάμεων, Rayleigh, επαναληπτικό σχήμα, ταχύτητα σύγκλισης.
Πεπερασμένες διαφορές, πολυώνυμο παρεμβολής για ισαπέχοντα σημεία, πολυώνυμο παρεμβολής για μη ισαπέχοντα σημεία.
Λέξεις κλειδιά: Πεπερασμένες διαφορές, σημεία παρεμβολής, πολυώνυμο, παρεμβολή, Newton, Langrange, Διηρημένες διαφορές, προσέγγιση συνάρτησης, ορθογώνια πολυώνυμα, ελάχιστα τετράγωνα.
Tύποι αριθμητικής παραγώγισης για ισαπέχοντα σημεία, Αριθμητική παραγώγιση με τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών, σφάλμα στην αριθμητική παραγώγιση.
Λέξεις κλειδιά: Aριθμητική παραγώγιση, σφάλμα αποκοπής, αριθμητική ολοκλήρωση, κανόνας τραπεζίου, Simpson, σφάλμα αποκοπής, ταχύτητα σύγκλισης, κλειστοι τύποι, ανοικτοί τύποι, Romberg.
Εισαγωγή, η μέθοδος του Euler, η μέθοδος της σειράς Τaylor, αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων με συνοριακές συνθήκες.
Λέξεις κλειδιά: Συνήθης διαφορική εξίσωση, μέθοδος Euler, σφάλμα αποκοπής, Taylor, συνοριακές συνθήκες.
Επαναληπτικές ασκήσεις.
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 0
Αρ. Προβολών : 0
Ημερολόγιο
Ανακοινώσεις
- - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -
