Μηχανική I
Αποστολάτος Θεοχάρης, Ιωάννου Πέτρος
H Νευτώνεια Μηχανική αποτελεί την πρώτη επαφή του φοιτητή με μια ολοκληρωμένη και αυτοσυνεπή θεωρία η οποία για αρκετούς αιώνες οδήγησε σε εξαιρετικές προβλέψεις. Ακόμη και σήμερα η τεχνολογία μας βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στις εξισώσεις της Νευτώνειας Μηχανικής.
Στο μάθημα μελετώνται οι νόμοι του Νεύτωνα καθώς και οι αναλυτικοί και αριθμητικοί τρόποι χρήσης αυτών προκειμένου να αναλυθεί η κίνηση ενός μηχανικού συστήματος.
Πιο συγκεκριμένα (1) αναλύεται η σχέση της διαφορικής εξίσωσης δευτέρας τάξης που περιγράφει τον δυναμικό νόμο του Νεύτωνα με τις αρχικές συνθήκες που απαιτούνται προκειμένου να καθοριστεί η τροχιά ενός μηχανικού συστήματος, (2) προτείνεται τρόπος αριθμητικής επίλυσης ενός μηχανικού προβλήματος όπως αυτός της κίνησης ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο, (3) εισάγεται η έννοια της συνάρτησης δέλτα του Dirac και των συναρτήσεων Green προκειμένου να αναλυθεί ένα γενικό γραμμικό πρόβλημα με τυχούσα χρονοεξαρτώμενη διέγερση, (4) αναλύεται πλήρως με πολλούς διαφορετικούς τρόπους η κίνηση του αρμονικού ταλαντωτή και σχολιάζεται η σημασία αυτού του ιδιαίτερου προβλήματος, (5) εισάγεται η έννοια του φασικού χώρου, (6) μελετάται η έννοια του δυναμικού, (7) εισάγεται η έννοια του κέντρου μάζας για ένα απομονωμένο και μη σύστημα αλληλεπιδρώντων σωματιδίων, (8) εισάγεται η γεωμετρική έννοια των διανυσμάτων, (9) μελετάται η κίνηση ενός σωματιδίου στο χώρο και αναλύεται η επιτάχυνσή του σε επιτρόχιο και κεντρομόλο, (9) αναλύεται διεξοδικά η έννοια του συντηρητικού πεδίου, (10) μελετάται η τροχιά σωματιδίου στο βαρυτικό πεδίο αντιστρόφου τετραγώνου, (11) μελετάται το βαρυτικό πεδίο ενός πεπερασμένου σώματος και συζητείται η δυναμική ενέργεια ενός συστήματος από βαρυτικά αλληλεπιδρώντα σώματα.
Η έννοια των μη αδρανειακών συστημάτων γίνεται στα αρχικά στάδια του μαθήματος σε γενική μορφή και δεν δίνεται ιδιαίτερο βάρος στις έννοιες της φυγοκέντρου δύναμης και της δύναμης Coriolis. Η επί μέρους μελέτη των δυνάμεων αυτών έχει ενταχθεί στο πλαίσιο της Μηχανικής ΙΙ, όπου θεωρείται πιο άμεση η ανάδειξη των δυνάμεων αυτών όταν μελετώνται περιστρεφόμενα πλαίσια αναφοράς.
ΛιγότεραH Νευτώνεια Μηχανική αποτελεί την πρώτη επαφή του φοιτητή με μια ολοκληρωμένη και αυτοσυνεπή θεωρία η οποία για αρκετούς αιώνες οδήγησε σε εξαιρετικές προβλέψεις. Ακόμη και σήμερα η τεχνολογία μας βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στις εξισώσεις της Νευτώνειας Μηχανικής.
Στο μάθημα μελετώνται οι νόμοι του Νεύτωνα καθώς και οι αναλυτικοί και αριθμητικοί τρόποι χρήσης αυτών προκειμένου να αναλυθεί η κίνηση ενός μηχανικού συστήματος.
Πιο συγκεκριμένα (1) αναλύεται η σχέση της διαφορικής εξίσωσης δευτέρας τάξης που περιγράφει τον δυναμικό νόμο του Νεύτωνα με τις αρχικές συνθήκες που απαιτούνται προκειμένου να καθοριστεί η τροχιά ενός μηχανικού συστήματος, (2) προτείνεται τρόπος αριθμητικής επίλυσης ενός μηχανικού προβλήματος όπως αυτός της κίνησης ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο, (3) εισάγεται η έννοια της συνάρτησης δέλτα του Dirac και των συναρτήσεων Green προκειμένου να αναλυθεί ένα γενικό γραμμικό πρόβλημα με τυχούσα χρονοεξαρτώμενη διέγερση, (4) αναλύεται πλήρως με πολλούς διαφορετικούς τρόπο
H Νευτώνεια Μηχανική αποτελεί την πρώτη επαφή του φοιτητή με μια ολοκληρωμένη και αυτοσυνεπή θεωρία η οποία για αρκετούς αιώνες οδήγησε σε εξαιρετικές προβλέψεις. Ακόμη και σήμερα η τεχνολογία μας βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στις εξισώσεις της Νευτώνειας Μηχανικής.
Στο μάθημα μελετώνται οι νόμοι του Νεύτωνα καθώς και οι αναλυτικοί και αριθμητικοί τρόποι χρήσης αυτών προκειμένου να αναλυθεί η κίνηση ενός μηχανικού συστήματος.
Πιο συγκεκριμένα (1) αναλύεται η σχέση της διαφορικής εξίσωσης δευτέρας τάξης που περιγράφει τον δυναμικό νόμο του Νεύτωνα με τις αρχικές συνθήκες που απαιτούνται προκειμένου να καθοριστεί η τροχιά ενός μηχανικού συστήματος, (2) προτείνεται τρόπος αριθμητικής επίλυσης ενός μηχανικού προβλήματος όπως αυτός της κίνησης ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο, (3) εισάγεται η έννοια της συνάρτησης δέλτα του Dirac και των συναρτήσεων Green προκειμένου να αναλυθεί ένα γενικό γραμμικό πρόβλημα με τυχούσα χρονοεξαρτώμενη διέγερση, (4) αναλύεται πλήρως με πολλούς διαφορετικούς τρόπο
Περίγραμμα
Διδάσκοντες
Πέτρος Ιωάννου
Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής,
Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής,
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών.
Θεοχάρης Αποστολάτος
Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής,
Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής,
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών.
Περιεχόμενο μαθήματος
ΕΝΟΤΗΤΑ 1η
Νόμοι Νεύτωνα
1.1 Νόμοι Νεύτωνα σε αντιπαράθεση με τους νόμους του Κέπλερ
1.2 Σχόλια επί των νόμων του Νεύτωνα
1.3 Αδρανειακά και μη αδρανειακά συστήματα
1.4 Αριθμητική ολοκλήρωση των νόμων
ΕΝΟΤΗΤΑ 2η
Ο 2ος νόμος του Νεύτωνα σε μορφή διαφορικής εξίσωσης
2.1 Η έννοια της αρχής της αιτιότητας – αρχικές συνθήκες
2.2 Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης για διάφορους τύπους δύναμης
2.3 Η συνάρτηση δέλτα και οι συναρτήσεις Green
2.4 Ο 2ος νόμος ως συνέπεια των βασικών συμμετριών του κόσμου.
ΕΝΟΤΗΤΑ 3η
Χώρος φάσεων
3.1 Η έννοια του δυναμικού (σε 1 διάσταση) και η διατήρηση ενέργειας.
3.2 Κίνηση σε δεδομένο δυναμικό.
3.3 Ανάλυση ευσταθούς και ασταθούς σημείου ισορροπίας.
3.4 Ισοχρονικότητα του αρμονικού ταλαντωτή.
3.5 Τροχιά στο χώρο των φάσεων.
3.6 Θεώρημα Liouville.
ΕΝΟΤΗΤΑ 4η
Αρμονικός ταλαντωτής
4.1 Θεώρημα Liouville.
4.2 Η ιδιαιτερότητα και η σημασία του αρμονικού ταλαντωτή.
4.3 Γραμμικά συστήματα και εκθετικές λύσεις.
4.4 Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση.
4.5 Εξαναγκασμένος αρμονικός ταλαντωτής.
4.6 Συντονισμός και ροή ενέργειας.
ΕΝΟΤΗΤΑ 5η
Διανύσματα
5.1 Η έννοια του διανύσματος ως γεωμετρικό αντικείμενο ανεξάρτητο του συστήματος αναφοράς.
5.2 Το ανάδελτα ως διανυσματικός τελεστής.
5.3 Πράξεις με δείκτες.
5.4 Ανάλυση κίνησης σε πολικές συντεταγμένες.
5.5 Ανάλυση επιτάχυνσης σε επιτρόχια και κεντρομόλο.
5.6 Αστρόβιλα πεδία.
5.6 Η στροφορμή.
ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
Τροχιές
6.1 Κεντρικά δυναμικά.
6.2 Ενεργό δυναμικό. Ανάλυση κίνησης σε ακτινική και περιστροφική.
6.3 Η τροχιά σε δυναμικό 1/r (δύναμη αντιστρόφου τετραγώνου).
6.4 Τροχιές πλανητών.
6.5 Σκέδαση.
6.6 Απομονωμένο σύστημα - Η έννοια του κέντρου μάζας.
6.7 Διπλό σύστημα βαρυτικά αλληλεπιδρώντων σωμάτων.
ΕΝΟΤΗΤΑ 7η
Βαρύτητα
7.1 Βαρυτικό πεδίο ενός σώματος πεπερασμένων διαστάσεων.
7.2 Βαρυτικό πεδίο ομογενούς σφαίρας.
7.3 Βαρυτικό πεδίο σφαιρικού κελύφους.
7.4 Νόμος του Gauss για τη βαρύτητα.
7.5 Δυναμικής ενέργεια λόγω βαρυτικής αλληλεπίδρασης.
Προτεινόμενα συγγράμματα
Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική (Κ. Τσίγκανου)- Θεωρητική Μηχανική (Ι.Δ. Χατζηδημητρίου)
Βιβλιογραφία
Συγγράμματα που προσφέρονται μέσω του συστήματος ΕΥΔΟΞΟΣ
- Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική (Κ. Τσίγκανου)
- Θεωρητική Μηχανική (Ι.Δ. Χατζηδημητρίου)
- Κλασική Μηχανική (Kibble, Berkshire)
Άλλα βιβλία (Textbooks)
- The Feynman Lectures on Physics vol.I (Feynman, Leighton, Sands)
- Θεωρητική Μηχανική Ι (Φ. Χατζηιωάννου)
- Classical Mechanics – A modern Perspective (Barger, Olsson)
- Newton’s Principia for the common reader (Chandrashekhar)
- Matter and Motion (Maxwell)
- Principles of Mechanics (Synge, Griffith)
Εκπαιδευτικό υλικό στο Διαδίκτυο
- Σημειώσεις με ανοικτή πρόσβαση στο Διαδίκτυο: http://users.uoa.gr/~pjioannou/mech1/ (σημειώσεις των διδασκόντων)
Μαθησιακοί στόχοι
Η εξοικείωση των φοιτητών με τις βασικές έννοιες που υπεισέρχονται στη Νευτώνεια Μηχανική.- Η δυνατότητα των φοιτητών να αναλύουν, να μελετούν και να προβλέπουν την εξέλιξη δεδομένων μηχανικών συστημάτων.
Προαπαιτούμενα
Γενικές προαπαιτούμενες γνώσεις: Στοιχειώδης Ανάλυση, και διανυσματική Ανάλυση, χρήση διαφορικού λογισμού σε απλά φυσικά συστήματα.- Κωδικοί προαπαιτούμενων μαθημάτων του Τμήματος: Υ0312, Υ013, Υ0322
Πέτρος Ιωάννου
Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής,
Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής,
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών.
Θεοχάρης Αποστολάτος
Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής,
Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής,
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών.
ΕΝΟΤΗΤΑ 1η
Νόμοι Νεύτωνα
1.1 Νόμοι Νεύτωνα σε αντιπαράθεση με τους νόμους του Κέπλερ
1.2 Σχόλια επί των νόμων του Νεύτωνα
1.3 Αδρανειακά και μη αδρανειακά συστήματα
1.4 Αριθμητική ολοκλήρωση των νόμων
ΕΝΟΤΗΤΑ 2η
Ο 2ος νόμος του Νεύτωνα σε μορφή διαφορικής εξίσωσης
2.1 Η έννοια της αρχής της αιτιότητας – αρχικές συνθήκες
2.2 Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης για διάφορους τύπους δύναμης
2.3 Η συνάρτηση δέλτα και οι συναρτήσεις Green
2.4 Ο 2ος νόμος ως συνέπεια των βασικών συμμετριών του κόσμου.
ΕΝΟΤΗΤΑ 3η
Χώρος φάσεων
3.1 Η έννοια του δυναμικού (σε 1 διάσταση) και η διατήρηση ενέργειας.
3.2 Κίνηση σε δεδομένο δυναμικό.
3.3 Ανάλυση ευσταθούς και ασταθούς σημείου ισορροπίας.
3.4 Ισοχρονικότητα του αρμονικού ταλαντωτή.
3.5 Τροχιά στο χώρο των φάσεων.
3.6 Θεώρημα Liouville.
ΕΝΟΤΗΤΑ 4η
Αρμονικός ταλαντωτής
4.1 Θεώρημα Liouville.
4.2 Η ιδιαιτερότητα και η σημασία του αρμονικού ταλαντωτή.
4.3 Γραμμικά συστήματα και εκθετικές λύσεις.
4.4 Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση.
4.5 Εξαναγκασμένος αρμονικός ταλαντωτής.
4.6 Συντονισμός και ροή ενέργειας.
ΕΝΟΤΗΤΑ 5η
Διανύσματα
5.1 Η έννοια του διανύσματος ως γεωμετρικό αντικείμενο ανεξάρτητο του συστήματος αναφοράς.
5.2 Το ανάδελτα ως διανυσματικός τελεστής.
5.3 Πράξεις με δείκτες.
5.4 Ανάλυση κίνησης σε πολικές συντεταγμένες.
5.5 Ανάλυση επιτάχυνσης σε επιτρόχια και κεντρομόλο.
5.6 Αστρόβιλα πεδία.
5.6 Η στροφορμή.
ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
Τροχιές
6.1 Κεντρικά δυναμικά.
6.2 Ενεργό δυναμικό. Ανάλυση κίνησης σε ακτινική και περιστροφική.
6.3 Η τροχιά σε δυναμικό 1/r (δύναμη αντιστρόφου τετραγώνου).
6.4 Τροχιές πλανητών.
6.5 Σκέδαση.
6.6 Απομονωμένο σύστημα - Η έννοια του κέντρου μάζας.
6.7 Διπλό σύστημα βαρυτικά αλληλεπιδρώντων σωμάτων.
ΕΝΟΤΗΤΑ 7η
Βαρύτητα
7.1 Βαρυτικό πεδίο ενός σώματος πεπερασμένων διαστάσεων.
7.2 Βαρυτικό πεδίο ομογενούς σφαίρας.
7.3 Βαρυτικό πεδίο σφαιρικού κελύφους.
7.4 Νόμος του Gauss για τη βαρύτητα.
7.5 Δυναμικής ενέργεια λόγω βαρυτικής αλληλεπίδρασης.
- Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική (Κ. Τσίγκανου)
- Θεωρητική Μηχανική (Ι.Δ. Χατζηδημητρίου)
Συγγράμματα που προσφέρονται μέσω του συστήματος ΕΥΔΟΞΟΣ
- Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική (Κ. Τσίγκανου)
- Θεωρητική Μηχανική (Ι.Δ. Χατζηδημητρίου)
- Κλασική Μηχανική (Kibble, Berkshire)
Άλλα βιβλία (Textbooks)
- The Feynman Lectures on Physics vol.I (Feynman, Leighton, Sands)
- Θεωρητική Μηχανική Ι (Φ. Χατζηιωάννου)
- Classical Mechanics – A modern Perspective (Barger, Olsson)
- Newton’s Principia for the common reader (Chandrashekhar)
- Matter and Motion (Maxwell)
- Principles of Mechanics (Synge, Griffith)
Εκπαιδευτικό υλικό στο Διαδίκτυο
- Σημειώσεις με ανοικτή πρόσβαση στο Διαδίκτυο: http://users.uoa.gr/~pjioannou/mech1/ (σημειώσεις των διδασκόντων)
- Η εξοικείωση των φοιτητών με τις βασικές έννοιες που υπεισέρχονται στη Νευτώνεια Μηχανική.
- Η δυνατότητα των φοιτητών να αναλύουν, να μελετούν και να προβλέπουν την εξέλιξη δεδομένων μηχανικών συστημάτων.
- Γενικές προαπαιτούμενες γνώσεις: Στοιχειώδης Ανάλυση, και διανυσματική Ανάλυση, χρήση διαφορικού λογισμού σε απλά φυσικά συστήματα.
- Κωδικοί προαπαιτούμενων μαθημάτων του Τμήματος: Υ0312, Υ013, Υ0322
Νόμοι Νεύτωνα σε αντιπαράθεση με τους νόμους του Κέπλερ, σχόλια επί των νόμων του Νεύτωνα, αδρανειακά και μη αδρανειακά συστήματα, αριθμητική ολοκλήρωση των νόμων.
Λέξεις Κλειδιά: Αδρανειακό σύστημα αναφοράς, μετασχηματισμός στροφών, γαλιλαϊκός μετασχηματισμός.
Η έννοια της αρχής της αιτιότητας – αρχικές συνθήκες, επίλυση της διαφορικής εξίσωσης για διάφορους τύπους δύναμης, η συνάρτηση δέλτα και οι συναρτήσεις Green, ο 2ος νόμος ως συνέπεια των βασικών συμμετριών του κόσμου.
Λέξεις Κλειδιά: Αρχή της αιτιότητας, συμμετρίες, μετασχηματισμός στροφών, γαλιλαϊκός μετασχηματισμός, συναρτήσεις δέλτα, συναρτήσεις Green.
Η έννοια του δυναμικού (σε 1 διάσταση) και η διατήρηση ενέργειας, κίνηση σε δεδομένο δυναμικό, ανάλυση ευσταθούς και ασταθούς σημείου ισορροπίας, ισοχρονικότητα του αρμονικού ταλαντωτή, τροχιά στο χώρο των φάσεων, θεώρημα Liouville.
Λέξεις Κλειδιά: Δυναμικό, σημεία ισορροπίας (ευσταθή και ασταθή), χώρος φάσεων, θεώρημα Liouville.
Η ιδιαιτερότητα και η σημασία του αρμονικού ταλαντωτή, γραμμικά συστήματα και εκθετικές λύσεις, αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση, εξαναγκασμένος αρμονικός ταλαντωτής, συντονισμός και ροή ενέργειας.
Λέξεις Κλειδιά: Γραμμικό σύστημα, χαρακτηριστικός χρόνος συστήματος, συντονισμός.
Η έννοια του διανύσματος ως γεωμετρικό αντικείμενο ανεξάρτητο του συστήματος αναφοράς, το ανάδελτα ως διανυσματικός τελεστής, πράξεις με δείκτες, ανάλυση κίνησης σε πολικές συντεταγμένες, ανάλυση επιτάχυνσης σε επιτρόχια και κεντρομόλο, αστρόβιλα πεδία, η στροφορμή.
Λέξεις Κλειδιά: Διανύσματα – τανυστές, δέλτα του Kronecker, πλήρως αντισυμμετρικός τανυστής, αστρόβιλα πεδία, στροφορμή.
Κεντρικά δυναμικά, ενεργό δυναμικό, ανάλυση κίνησης σε ακτινική και περιστροφική, η τροχιά σε δυναμικό 1/r (δύναμη αντιστρόφου τετραγώνου), τροχιές πλανητών, σκέδαση, απομονωμένο σύστημα - η έννοια του κέντρου μάζας, διπλό σύστημα βαρυτικά αλληλεπιδρώντων σωμάτων.
Λέξεις Κλειδιά: Κεντρικά πεδία, ενεργό δυναμικό, κέντρο μάζας, απομονωμένο σύστημα.
Βαρυτικό πεδίο ενός σώματος πεπερασμένων διαστάσεων, βαρυτικό πεδίο ομογενούς σφαίρας, βαρυτικό πεδίο σφαιρικού κελύφους, νόμος του Gauss για τη βαρύτητα, δυναμική ενέργεια λόγω βαρυτικής αλληλεπίδρασης.
Λέξεις Κλειδιά: Βαρυτικό δυναμικό, νόμος Gauss, βαρυτική δυναμική ενέργεια.
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 0
Αρ. Προβολών : 0
Ανακοινώσεις
- - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -
